интегралы от рациональных функций

[Cinaty]

Пожалуйста подскажите решение:
\int \frac {(2x-7)dx} {(x-5)(x-4)^3}
в интернете полно информации про рациональные функции, но не могу найти похожего примера.

[vlad239]

Нужно по известной формуле найти лорановские части разложений в ряды в особых точках и вычесть их. Тогда остаток будет рациональной функцией без полюсов а, следовательно, многочленом. Из соображений убывания на бесконечности он станет нулевым многочленом.

А если серьезно - попытки решения в студию. В интернете и ВПРЯМЬ полно информации про рациональные функции.

Влад.

[Cinaty]

на мой взгляд, уже в начале решения, я допускаю ошибку:
\int\frac{(2x-7)dx} {(x-5)(x-4)^3}= \frac A {(x-5)}+\frac B {(x-4)}+ \frac {Cx+D} {(x-4)^3}
пугает кубичекая степень.

[ewert]

Cinaty писал(а):

на мой взгляд, уже в начале решения, я допускаю ошибку:
\int\frac{(2x-7)dx} {(x-5)(x-4)^3}= \frac A {(x-5)}+\frac B {(x-4)}+ \frac {Cx+D} {(x-4)^3}
пугает кубичекая степень.

Безусловно допускаете. А где ж минус вторая-то степень? Степени (по предположению) обязаны присутствовать все возможные, с точки зрения исходного знаменателя.

--------------------------------------------
П.С. И, кстати -- или уберите крючок слева, или добавьте справа. "Или снимите крестик, или наденьте трусы" $\copyright$.

--------------------------------------------
П.С.П.С. Чего только не увидишь, как присмотришься. Что это там за числитель в последней дроби?...

[vlad239]

ewert писал(а):

П.С.П.С. Чего только не увидишь, как присмотришься. Что это там за числитель в последней дроби?...

Забавно, что две ошибки друг друга компенсируют. Разложение в таком виде возможно. Но не приведет к успеху - все равно придется разложить дальше, а то интегрировать тяжко.

Влад.

[Cinaty]

как это -2 степень? так? :
$\frac A {(x-5)} + \frac B {(x-4)}+ \frac C {(x-4)^2}+ \frac D {(x-4)^3}$

[gris]

Так. Теперь приведите к общему знаменателю, сложите, но не спешите раскрывать скобки в числителе.

[Cinaty]

$A(x-4)^3+B(x-5)(x-4)^2+C(x-5)(x-4)+D(x-5)$
Верно?
Что теперь?

[ewert]

Приравнять к исходному числителю и подставить четыре каких-нибудь различных числа, чтобы получить систему из (формально) четырёх уравнений для четырёх неизвестных коэфиициентов. Два из этих чисел должны быть корнями знаменателя (чтобы получить два коэффициента сходу), два других -- какие угодно, но, естественно, желательно брать числа попроще.

Вообще-то это странно. Неужто вас всему этому не учили?...

[Cinaty]

Или плохо учили или у меня голова глупая, причем второе вероятнее.
Я подставила вместо $x$ числа, у меня получилось следующее:
(2x-7)=A(x-4)^3+B(x-5)(x-4)^2+C(x-5)(x-4)+D(x-5) $x=4 \Rightarrow 1=-D\RightarrowD=-1$ $x=5\Rightarrow 3=A\RightarrowA=3$ $x=6\Rightarrow5=8A+4B+2C+D, B=-30-6C$ $x=2\Rightarrow-3=8A+B+6C-3D, C=4 \frac 7 {11}$ $B=\frac {-282} {11}$
тогда, подставив получается:
$\int (\frac 3 {x-5} - \frac{\frac {282} {11}} {x-4} - \frac{4 \frac 7 {11} } {(x-4)^2}- \frac 1 {(x-4)^3 } ) dx=3 ln |x-5|-\frac {282} {11} Ln |x-4|-$ $-4 \frac {7} {11} ln|(x-4)^2|-Ln|(x-4)^3|+c$

[vlad239]

Cinaty писал(а):

$x=2\Rightarrow-3=8A+B+6C-3D, C=4 \frac 7 {11}$

тогда, подставив получается:
$\int (\frac 3 {x-5} - \frac{\frac {282} {11}} {x-4} - \frac{4 \frac 7 {11} } {(x-4)^2}- \frac 1 {(x-4)^3 } ) dx=3 ln |x-5|-\frac {282} {11} Ln |x-4|-$ $-4 \frac {7} {11} ln|(x-4)^2|-Ln|(x-4)^3|+c$

1) Вы плохо возвели $-2$ в куб.
2) простейшие второго типа интегрируются не так.

Влад.

[Cinaty]

Я пересчитала, тогда получаются ОЧЕНЬ страшные дроби с трехзначными числами!
Тогда

Цитата:

2) простейшие второго типа интегрируются не так.

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получается, что $A=-B$, a $B$ не имеет численного значения. Я в тупике. Что делать?

[gris]

Эти дроби требуют просто внимательности. Я только чуть подправлю Ваш текст. В основном Вы почти всё сделали правильно, допустили только досадные арифметические ошибки и неправильно проинтегрировали одну из дробей.

$$(2x-7)=A(x-4)^3+B(x-5)(x-4)^2+C(x-5)(x-4)+D(x-5)$$

$$x=4 \Rightarrow 1=-D\Rightarrow D=-1$$

после \Rightarrow, как и после других кодов, не должна стоять буква. Пробел, число, другой знак

$$x=5\Rightarrow 3=A\Rightarrow A=3$$

$$x=6\Rightarrow 5=8A+4B+2C+D\Rightarrow 5=24+4B+2C-1\Rightarrow 2B+C=-9$$

$$x=2\Rightarrow -3=-8A-12B+6C-3D\Rightarrow -3=-24-12B+6C+3 \Rightarrow 2B-C=-3$$

$B=-3$

$C=-3$

$$\int \frac 3 {x-5} - \frac{3} {x-4} - \frac 3 {(x-4)^2 }-\frac 1 {(x-4)^3 } dx=3 \ln |x-5|-3\ln |x-4|+....+C$$

Вспомните, чему равен

$$\int\frac{dx}{x^3}$$

[Cinaty]

\int\frac{dx} {x^3}=\int x^{-3}dx=\frac{x^{-2}} {-2}, тогда в ответе получается:
$3\ln|x-5|- 9\ln|x-4|-\frac {1} {2(x-4)^2}+C$
Верно?
_____________________________________________________________________________________
// 26.04.09 сообщение отредактировано: добавлены знаки $ вокруг формул, ln x заменено \ln x. / GAA

[GAA]

Нет, неверно. В этом легко убедиться дифференцированием результата интегрирования.

(Разложение на простейшие дроби содержит ошибку.)

1. Формулы обязательно надо окружать символами $, а вот тегом math — если формула занимает несколько строк (см. первое сообщение темы Краткий ФАК по тегу math). 2. Функция $\ln x$ кодируется так: \ln x, аналогично кодируются и многие другие функции. Если будете продолжать неправильно форматировать сообщения, Ваши темы будут перемещаться в Карантин.

Отредактирована грамматическая ошибка.