Кратный интеграл!

[daogiauvang]

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\dots \int_{0}^{1} max \left(x_1, x_2,x_3,\dots,x_n \right)dx_1dx_2 \dots dx_n$$

[gris]

Это не кратный интеграл

может быть

$$2^{n-1}\int_{0}^{1} dx_n\int_{0}^{x_{n}}dx_{n-1}\dots \int_{0}^{x_2} x_1dx_1$$

Для $n=2$

$$2\int_{0}^{1} dy\int_{0}^{y} xdx$$

Только это для минимума. а для максимума вычесть из 1

[ewert]

gris писал(а):

Это не кратный интеграл

может быть

$$2^{n-1}\int_{0}^{1} dx_n\int_{0}^{x_{n}}dx_{n-1}\dots \int_{0}^{x_2} x_1dx_1$$

Для $n=2$

$$2\int_{0}^{1} dy\int_{0}^{y} xdx$$

это не кратный интеграл, а повторный

[gris]

Вот и я о том же. Понятно, что он по гиперкубу, просто называть его кратным нехорошо. Я был свидетелем выноса тела с экзамена за подобные слова.

[ewert]

Это был неправильный экзамен. И он нёс неправильный мёд.

[gris]

Если я назову в приличном обществе конструкцию

$$\int\limits_0^1\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{dxdy}{x^2+y^2}$$

двойным интегралом, то я не буду подвергнут обструкции?

[ewert]

Хм, тут Вы меня поймали. Будете (мной, во всяком случае; правда, не знаю, насколько можно считать моё общество приличным). Да, в таком виде интеграл можно записывать только как повторный, а как было представлено -- вообще нельзя записывать, так что до обзывательств дело просто не доходит. А двойной выглядел бы так:

$$\iint\limits_{x>0,\,x^2+y^2<1}{dx\,dy\over x^2+y^2}.$$

Но в том-то примере всё совсем не так. Параллелепипед -- он и в Африке параллелепипед.

[RIP]

daogiauvang в сообщении #207461 писал(а):

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\dots \int_{0}^{1} max \left(x_1, x_2,x_3,\dots,x_n \right)dx_1dx_2 \dots dx_n$$

Проще всего, по-моему, решать так. Пусть $\xi_1,\ldots,\xi_n$ --- независимые одинаково распределённые случайные величины, $\xi_1$ равномерно распределена на $[0;1]$. Тогда надо найти мат. ожидание $\xi=\max\{\xi_1;\ldots;\xi_n\}$,
$\mathrm E\xi=\int_{\mathbb R}xdF_\xi(x)=...$