Измеримость множества по Лебегу

[Dello]

Долго бьюсь над следующей задачей, буду рад любым идеям или литературе, которые помогут ее решить:

Пусть $\mu^*$ - внешняя мера на Х, порожденная предмерой на алгебре $\mathscr A$, причем $\mu^*$(X) < \infty. Для $E \subset X$ определяем внутреннюю меру: $\mu_*$(E)= \mu^*(Х)$$- \mu^*$(Х-E). Тогда нужно доказать, что если внутреняя мера множества E равна его внешней мере, то Е является $\mu^*$ - измеримым, т.е.\forallА \subset X: \mu^*(А)=\mu^*(А \cap E)+ \mu^*(А \cap (X-E)).

При этом "порожденная предмерой на алгебре $\mathscr A$" понимается в смысле: $\mu^*(E)$= inf\{ \sum\limits_{j=1}^\infty \mu(A_j): A_j \subset \mathscr A, E \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j\}.

Заранее спасибо.

[AD]

1.

Цитата:

$\mu^*(E) = \inf\{ \sum\limits_{j=1}^\infty \mu(A_j): A_j \subset \mathscr A, E \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j\}$

Очепятка: Должно быть $A_j\in\mathscr A$. А скобочки можно для красоты ставить так:

$\left\{ \sum\limits_{j=1}^\infty \mu(A_j): A_j \subset \mathscr A, E \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j\right\}$

$\left\{ \sum\limits_{j=1}^\infty \mu(A_j): A_j \subset \mathscr A, E \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j\right\}$
И math можно не писать, если уже стоят доллары.
2. В выражении $\mu^*(X)$ звездочка лишняя, ибо $\mathscr{A}$ - алгебра. (ну доказать, что $\mu^*A=\mu A$ для $A\in\mathscr{A}$, я думаю, Вы сумеете).
3. Напомню, что неравенство $\mu^*A\le\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)$ тривиально.
4. Далее, я предлагаю Вам сначала \boxed{\text{доказать\ \ }$\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)\le\mu^*A$\text{\ \ для\ \ }$A\in\mathscr{A}$}. (Это вообще основная идея всего курса теории меры - сначала доказываем для полукольца, потом для алгебры, ...). Для этого я предлагаю взять два комплекта непересекающихся множеств $\{A_j\}_{j=1}^\infty$ и $\{B_j\}_{j=1}^\infty$ из алгебры, один - накрывающий $E$ с точностью $\varepsilon$, а другой - накрывающий $X\setminus E$ с точностью $\varepsilon$, а потом "расколоть" их об $A$. Примерно так:

$$\mu^*(A\cap E) +\mu^*(A\setminus E)\le\mu\left(A\cap\bigsqcup\limits_{j=1}^NA_j\right)+ \mu\left(A\cap\bigsqcup\limits_{j=1}^NB_j\right)+\sum_{j=N+1}^\infty(\mu A_j+\mu B_j)$$

,
последнее слагаемое уйдет при $N\to\infty$, а спервыми всё очень хорошо, там обычная мера, и надо сделать что-то типа $\mu C+\mu D=\mu(C\cup D)+\mu(C\cap D)$, и должно получиться.
5. Ну а когда это сделано, то совсем просто: накрываем теперь $A$ с точностью $\varepsilon$, и получается

$$\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)\le \sum_j\Bigl(\mu^*(A_j\cap E)+\mu^*(A_j\setminus E)\Bigr)=\sum_j\mu(A_j),$$

снова ввиду произвольности $\varepsilon>0$ чтд.

[Хорхе]

Вставлю свои пять копеек по поводу литературы. Есть прекрасный (я бы даже сказал, культовый) учебник-задачник Кириллова и Гвишиани, который Вы без труда найдете в электронном варианте, хотя я бы рекомендовал обзавестись бумажным в букинистическом магазине. Там наверняка есть эта задача, а также многие другие с указаниями, как их решать.

[Dello]

AD, большое спасибо, только для меня остались неясными некоторые моменты:
1) Как используется условие равенства внешней и внутренней мер множества E?
2) Мне не совсем понятен механизм покрытия E. В указаниях к этой задаче предлагалось использоваться следующее свойство:

Если $\mathscr A_\sigma = \left\{\bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j : A_j\in\mathscr A\right\}$, то \forall E \subset X, \forall \varepsilon>0 \exists A \in \mathscr A_\sigma такое, что E \subset A, \mu^*(A)\le \mu^*(E) + \varepsilon.

Но здесь вроде как неравенство не в нужную нам сторону? Или я ошибаюсь, и Вы использовали это же свойство? Но в этом случае получается, что можно рассматривать сразу А \subset X, а не из алгебры, т.к. в этом свойстве речь идет о E \subset X.

[AD]

Dello в сообщении #207037 писал(а):

Как используется условие равенства внешней и внутренней мер множества E?

AD в сообщении #206925 писал(а):

Для этого я предлагаю взять два комплекта непересекающихся множеств $\{A_j\}_{j=1}^\infty$ и $\{B_j\}_{j=1}^\infty$ из алгебры, один - накрывающий $E$ с точностью $\varepsilon$, а другой - накрывающий $X\setminus E$ с точностью $\varepsilon$

А потом нам придется оценивать меру пересечения этих покрытий, и она должна уметь становиться произвольно малой.

Добавлено спустя 6 минут 47 секунд:

Dello в сообщении #207037 писал(а):

Вы использовали это же свойство?

Это свойство я использовал неоднократно. Это, фактически, переформулировка определения внешней меры: очевидный способ доказать это свойство - в качестве $A\in\mathsrc{A}_\sigma$ взять $\bigcup_{j=1}^\infty A_j$, ну по которым еще инфимум берется. Но я не вижу возможности решить эту задачу "в одно действие", просто глядя на это свойство.

Добавлено спустя 2 минуты 25 секунд:

Вообще, я не особо уверен, что этот мой подход приводит к успеху (просто первая мысль).