2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти объем тела с помощью тройного интеграла
Сообщение21.04.2009, 16:13 
Добрый день.
Есть такая задача: найти объем тела, ограниченного поверхностями: $z=0; z=4-x^2-y^2; z= 2(4-x^2-y^2); y=\sqrt{3x}; y=\frac{\sqrt{3}}{3}x; x\ge0; y\ge0$
По условию необходимо решать с помощью тройного интеграла. Первой мыслью было, что опечатка и вместо $y=\sqrt{3x}$ должно быть $y=\sqrt{3}x$, тогда все решается совсем легко с помощью цилиндрических координат. Но вроде никакой опечатки нет и не совсем понятно как расставлять пределы для $\rho$ и $\varphi$.
То есть, по сути, как расставить пределы интегрирования для радиуса и угла поворота вот такой области:
Изображение

 
 
 
 
Сообщение21.04.2009, 17:08 
Зачем цилиндрические? Вот область:
$0\leqslant x\leqslant 1$, $\sqrt 3 x\leqslant y\leqslant\sqrt{3x}$, $4-x^2-y^2\leqslant z\leqslant 2(4-x^2-y^2)$. Далее тройной интеграл сводим к повторному и считаем.

 
 
 
 
Сообщение21.04.2009, 17:44 
ASA писал(а):
Зачем цилиндрические? Вот область:
$0\leqslant x\leqslant 1$, $\sqrt 3 x\leqslant y\leqslant\sqrt{3x}$, $4-x^2-y^2\leqslant z\leqslant 2(4-x^2-y^2)$. Далее тройной интеграл сводим к повторному и считаем.

Только, наверное, надо область разбивать на две части. $0\leqslant x\leqslant 1$, $\sqrt 3 x\leqslant y\leqslant\sqrt{3x}$, $4-x^2-y^2\leqslant z\leqslant 2(4-x^2-y^2)$ и $1\leqslant x\leqslant \sqrt 3$, $\sqrt 3 x\leqslant y\leqslant\sqrt{4-x^2}$, $4-x^2-y^2\leqslant z\leqslant 2(4-x^2-y^2)$ Или я неправ?

 
 
 
 
Сообщение21.04.2009, 20:57 
Ой, у меня $y=\sqrt 3 x$, а надо $y=\frac{\sqrt 3}{3} x$.
OhneName писал(а):
$0\leqslant x\leqslant 1$, $\sqrt 3 x\leqslant y\leqslant\sqrt{3x}$, $4-x^2-y^2\leqslant z\leqslant 2(4-x^2-y^2)$ и $1\leqslant x\leqslant \sqrt 3$, $\sqrt 3 x\leqslant y\leqslant\sqrt{4-x^2}$, $4-x^2-y^2\leqslant z\leqslant 2(4-x^2-y^2)$ Или я неправ?

Похоже, все верно. Только $\sqrt 3 x$ надо заменить на $\frac{\sqrt 3}{3} x$.

 
 
 
 
Сообщение21.04.2009, 21:22 
ASA писал(а):
Похоже, все верно. Только $\sqrt 3 x$ надо заменить на $\frac{\sqrt 3}{3} x$.

Ну да, это я заметил. Спасибо огромное, а то что-то я действительно уперся в эти цилиндрические координаты...)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group