2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Таблица Кэли
Сообщение16.04.2006, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1729
Москва
При определенных условиях при составлении таблицы Кэли группы симметрии геометрических фигур можно заметить определенные закономерности. Составим, например, соответствующую таблицу для самосовмещений квадрата на плоскости и в пространстве. Группа состоит из восьми преобразований, дадим им следующую нумерацию (что важно):
${\phi}_1=(\frac {1 2 3 4}{1 2 3 4})$
${\phi}_2=(\frac {1 2 3 4}{1 4 3 2})$
${\phi}_3=(\frac {1 2 3 4}{2 1 4 3})$
${\phi}_4=(\frac {1 2 3 4}{2 3 4 1})$
${\phi}_5=(\frac {1 2 3 4}{3 2 1 4})$
${\phi}_6=(\frac {1 2 3 4}{3 4 1 2})$
${\phi}_7=(\frac {1 2 3 4}{4 1 2 3})$
${\phi}_8=(\frac {1 2 3 4}{4 3 2 1})$
т.е. во второй строчке перестановок идут последовательно возрастающие числа из возможных. Составляем таблицу Кэли:
${\phi}_1 {\phi}_2 {\phi}_3 {\phi}_4 {\phi}_5 {\phi}_6 {\phi}_7 {\phi}_8$
${\phi}_2 {\phi}_1 {\phi}_4 {\phi}_3 {\phi}_6 {\phi}_5 {\phi}_8 {\phi}_7$
${\phi}_3 {\phi}_7 {\phi}_1 {\phi}_5 {\phi}_4 {\phi}_8 {\phi}_2 {\phi}_6$
${\phi}_4 {\phi}_8 {\phi}_2 {\phi}_6 {\phi}_3 {\phi}_7 {\phi}_1 {\phi}_5$
${\phi}_5 {\phi}_6 {\phi}_7 {\phi}_8 {\phi}_1 {\phi}_2 {\phi}_3 {\phi}_4$
${\phi}_6 {\phi}_5 {\phi}_8 {\phi}_7 {\phi}_2 {\phi}_1 {\phi}_4 {\phi}_3$
${\phi}_7 {\phi}_3 {\phi}_5 {\phi}_1 {\phi}_8 {\phi}_4 {\phi}_6 {\phi}_2$
${\phi}_8 {\phi}_4 {\phi}_6 {\phi}_2 {\phi}_7 {\phi}_3 {\phi}_5 {\phi}_1$
На пересечении i-й строки и j-го столбца стоит результат произведения ${\phi_i}{\phi_j}$. В первом столбце объединим перестановки в множества по две: 1 множество -${\phi_1},{\phi_2}$; 2 множество - ${\phi_3},{\phi_4}$; 3 множество - ${\phi_5},{\phi_6}$; 4 множество - ${\phi_7},{\phi_8}$. Поставим в соответствие номер множества с номером в перестановке. Теперь берем i-й столбец таблицы и видим, что множества перестановок в этом столбце расставлены в полном соответствии с перестановками элементов самой i-й перестановки, при этом если в соответствующей строчке уже встречалась перестановка из множества, то они коммутируют внутри множества.
Более того, обозначим i-й столбец таблицы через $\omega_i$, что соответствует перестановке из 8 элементов. Имеем, что если ${\phi_i}{\phi_j}={\phi_k}$, то ${\omega_i}{\omega_j}={\omega_k}$, т.е. множество перестановок $\omega_i$ само образует подгруппу симметрической группы $S_8$.
Как объяснить все эти закономерности?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2006, 19:13 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
Объясняется умножением в факторгруппе по нормальной подгруппе индекса 2. Любая подгруппа индекса 2 является нормальной подгруппой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2006, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1729
Москва
Объясните, пожалуйста, подробнее. Например, в данном конкретном случае нормальная подгруппа индекса 2: ${\phi_1},{\phi_3},{\phi_6},{\phi_8}$, факторгруппа строится на двух смежных классах $E=({\phi_1},{\phi_3},{\phi_6},{\phi_8})$ и $A=({\phi_2},{\phi_4},{\phi_5},{\phi_7})$. Получаем таблицу для факторгруппы:
$EA$
$AE$
Как это объясняет все указанные закономерности?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2006, 21:08 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
Я извиняюсь, хотел сказать умножением в нормальной подгруппе, так чтобы ваши элементы (первые два) представляли элементов факторгруппы (т.е. находились в разных классах).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2006, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1729
Москва
Я ничего не понял.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2006, 22:55 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
Пусть элементы нормальной подгруппы индекса 2 есть $x_1,...,x_n$ и y элемент не принадлежащий этой подгруппе. Вы рассматриваете произведения:
$x_i*x_j,(yx_i)x_j=y(x_ix_j),x_i(x_jy)=(x_ix_j)y, x_iyx_jy=x_ix_{f(j)}$.
Т.е. таблица умножения в нормальной подгруппе и для последнего случая автоморфизм этой подгруппы $x_j\to x_{f(j)}=yx_jy$ полностью определяют таблицу Кэли в самой группе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2006, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1729
Москва
Указанный Вами автоморфизм позволяет определять произведение элементов группы через элементы ее нормальной подгруппы.
Но если это что-то и объясняет, то, по крайней мере, для меня очень туманно. Меня интересует конкретный вопрос, почему, если взять i-й столбец таблицы Кэли, то в этом столбце указанные множества перестановок расставлены в точном соответствии с перестановками элементов в самой i-й перестановке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group