Таблица Кэли

[juna]

При определенных условиях при составлении таблицы Кэли группы симметрии геометрических фигур можно заметить определенные закономерности. Составим, например, соответствующую таблицу для самосовмещений квадрата на плоскости и в пространстве. Группа состоит из восьми преобразований, дадим им следующую нумерацию (что важно):
${\phi}_1=(\frac {1 2 3 4}{1 2 3 4})$
${\phi}_2=(\frac {1 2 3 4}{1 4 3 2})$
${\phi}_3=(\frac {1 2 3 4}{2 1 4 3})$
${\phi}_4=(\frac {1 2 3 4}{2 3 4 1})$
${\phi}_5=(\frac {1 2 3 4}{3 2 1 4})$
${\phi}_6=(\frac {1 2 3 4}{3 4 1 2})$
${\phi}_7=(\frac {1 2 3 4}{4 1 2 3})$
${\phi}_8=(\frac {1 2 3 4}{4 3 2 1})$
т.е. во второй строчке перестановок идут последовательно возрастающие числа из возможных. Составляем таблицу Кэли:
${\phi}_1 {\phi}_2 {\phi}_3 {\phi}_4 {\phi}_5 {\phi}_6 {\phi}_7 {\phi}_8$
${\phi}_2 {\phi}_1 {\phi}_4 {\phi}_3 {\phi}_6 {\phi}_5 {\phi}_8 {\phi}_7$
${\phi}_3 {\phi}_7 {\phi}_1 {\phi}_5 {\phi}_4 {\phi}_8 {\phi}_2 {\phi}_6$
${\phi}_4 {\phi}_8 {\phi}_2 {\phi}_6 {\phi}_3 {\phi}_7 {\phi}_1 {\phi}_5$
${\phi}_5 {\phi}_6 {\phi}_7 {\phi}_8 {\phi}_1 {\phi}_2 {\phi}_3 {\phi}_4$
${\phi}_6 {\phi}_5 {\phi}_8 {\phi}_7 {\phi}_2 {\phi}_1 {\phi}_4 {\phi}_3$
${\phi}_7 {\phi}_3 {\phi}_5 {\phi}_1 {\phi}_8 {\phi}_4 {\phi}_6 {\phi}_2$
${\phi}_8 {\phi}_4 {\phi}_6 {\phi}_2 {\phi}_7 {\phi}_3 {\phi}_5 {\phi}_1$
На пересечении i-й строки и j-го столбца стоит результат произведения ${\phi_i}{\phi_j}$. В первом столбце объединим перестановки в множества по две: 1 множество -${\phi_1},{\phi_2}$; 2 множество - ${\phi_3},{\phi_4}$; 3 множество - ${\phi_5},{\phi_6}$; 4 множество - ${\phi_7},{\phi_8}$. Поставим в соответствие номер множества с номером в перестановке. Теперь берем i-й столбец таблицы и видим, что множества перестановок в этом столбце расставлены в полном соответствии с перестановками элементов самой i-й перестановки, при этом если в соответствующей строчке уже встречалась перестановка из множества, то они коммутируют внутри множества.
Более того, обозначим i-й столбец таблицы через $\omega_i$, что соответствует перестановке из 8 элементов. Имеем, что если ${\phi_i}{\phi_j}={\phi_k}$, то ${\omega_i}{\omega_j}={\omega_k}$, т.е. множество перестановок $\omega_i$ само образует подгруппу симметрической группы $S_8$.
Как объяснить все эти закономерности?

[Руст]

Объясняется умножением в факторгруппе по нормальной подгруппе индекса 2. Любая подгруппа индекса 2 является нормальной подгруппой.

[juna]

Объясните, пожалуйста, подробнее. Например, в данном конкретном случае нормальная подгруппа индекса 2: ${\phi_1},{\phi_3},{\phi_6},{\phi_8}$, факторгруппа строится на двух смежных классах $E=({\phi_1},{\phi_3},{\phi_6},{\phi_8})$ и $A=({\phi_2},{\phi_4},{\phi_5},{\phi_7})$. Получаем таблицу для факторгруппы:
$EA$
$AE$
Как это объясняет все указанные закономерности?

[Руст]

Я извиняюсь, хотел сказать умножением в нормальной подгруппе, так чтобы ваши элементы (первые два) представляли элементов факторгруппы (т.е. находились в разных классах).

[juna]

Я ничего не понял.

[Руст]

Пусть элементы нормальной подгруппы индекса 2 есть $x_1,...,x_n$ и y элемент не принадлежащий этой подгруппе. Вы рассматриваете произведения:
$x_i*x_j,(yx_i)x_j=y(x_ix_j),x_i(x_jy)=(x_ix_j)y, x_iyx_jy=x_ix_{f(j)}$.
Т.е. таблица умножения в нормальной подгруппе и для последнего случая автоморфизм этой подгруппы $x_j\to x_{f(j)}=yx_jy$ полностью определяют таблицу Кэли в самой группе.

[juna]

Указанный Вами автоморфизм позволяет определять произведение элементов группы через элементы ее нормальной подгруппы.
Но если это что-то и объясняет, то, по крайней мере, для меня очень туманно. Меня интересует конкретный вопрос, почему, если взять i-й столбец таблицы Кэли, то в этом столбце указанные множества перестановок расставлены в точном соответствии с перестановками элементов в самой i-й перестановке.