Алгебра

[infantier]

Дана система уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{lll} P(a_1,a_2,...,a_n)=0 \\ P(a_2,a_3,...,a_{n+1})=0 \\ P(a_3,a_4,...,a_{n+2})=0 \\ ......................\\ P(a_{k+1},a_{k+2},...,a_{k+n})=0 \\ \end{array} \right. $$

$$P(a_1,a_2,...,a_n)=a_{n}^{u_n}a_{n-1}^{u_{n-1}}...a_2^{u_2}a_{1}^{u_1}-a_{n}^{v_n}a_{n-1}^{v_{n-1}}...a_2^{v_2}a_{1}^{v_1} +1$$

$$P(a_1,a_2,...,a_n)\in \mathbb{C}[a_1,a_2,...,a_n]$$

$$\sum_{k=1}^n u_k=\sum_{r=1}^n v_r =d$$

$$u_1,u_2,...,u_n,v_1,v_2,...,v_n\ge0$$

$$u_n=v_n;u_1=v_1$$

Существует $1<k<n$, такое что $u_k \ne v_k$.

В системе $k+1$ уравнений, $n+k$ неизвестных.


Доказать, что эта система имеет решение в поле комплексных чисел.

[Полосин]

Если все $u_k=v_k$, то $P=1$ и система не имеет решений.

[infantier]

Имелось в виду, что многочлен нетривиальный. В тривиальном случае тут нечего обсуждать.

[Полосин]

Я, наверное, всё же чего-то недопонимаю. Неизвестных больше, чем уравнений?
Пусть $u_n=v_n\ne0$ (в противном случае рассматриваем последний индекс $j$, для которого $u_j\ne0$ или $v_j\ne0$), тогда из первого уравнения выражаем $a_n$ через предыдущие неизвестные $a_1, ..., a_{n-1}$. Подставляем во второе уравнение, выражаем $a_{n+1}$ через предыдущие, и т.д. Всё, за чем нам нужно следить, - это чтобы очередное уравнение не вырождалось. Поскольку первые $n-1$ неизвестных произвольны, этого всегда можно добиться.

[lofar]

Надо попробовать посчитать базис Гребнера. Вдруг он легко находится в общем случае.

[infantier]

Полосин писал(а):

Я, наверное, всё же чего-то недопонимаю. Неизвестных больше, чем уравнений?
Пусть $u_n=v_n\ne0$ (в противном случае рассматриваем последний индекс $j$, для которого $u_j\ne0$ или $v_j\ne0$), тогда из первого уравнения выражаем $a_n$ через предыдущие неизвестные $a_1, ..., a_{n-1}$. Подставляем во второе уравнение, выражаем $a_{n+1}$ через предыдущие, и т.д. Всё, за чем нам нужно следить, - это чтобы очередное уравнение не вырождалось. Поскольку первые $n-1$ неизвестных произвольны, этого всегда можно добиться.

В том то и дело, что нужно доказать, что очередное уравнение не вырождается. А как это строго доказать, я не знаю.

[Полосин]

Для простоты рассмотрим случай, когда $u_n=v_n=1$ и свободное неизвестное одно. Тогда все коэффициенты в каждом уравнении выражаются аналитически через свободное неизвестное, а стало быть, множество их нулей и особых точек - не более чем счетное без конечных предельных точек (на самом деле - конечное).

[infantier]

Полосин писал(а):

Для простоты рассмотрим случай, когда $u_n=v_n=1$ и свободное неизвестное одно. Тогда все коэффициенты в каждом уравнении выражаются аналитически через свободное неизвестное, а стало быть, множество их нулей и особых точек - не более чем счетное без конечных предельных точек (на самом деле - конечное).

В случае $u_n=v_n=1$ всё выражается через многочлены и в этом случае, всё понятно, а как доказывать в случае $u_n=v_n>1$?????

[Полосин]

Принципиальной разницы нет: в этом случае к особым точкам добавляются особые линии, вне которых коэффициенты по-прежнему остаются аналитическими.

[infantier]

При выражении некого $a_k$ в знаменателе может получиться 0. То есть будет не особая линия, а всё пространство. И найти все неизвестные не получится!!!

[Полосин]

Аналитические и кусочно-аналитические функции могут обращаться в нуль либо тождественно, либо не более чем в счетном множестве точек. Система будет разрешима при "почти всех" значениях параметров.

[infantier]

Полосин писал(а):

Аналитические и кусочно-аналитические функции могут обращаться в нуль либо тождественно, либо не более чем в счетном множестве точек. Система будет разрешима при "почти всех" значениях параметров.

У нас может на каком-то шаге получится, не аналитическая функция, а функция $a_r=\frac{1}{0}$. В знаменателе не обязательно будет нетривиальная аналитическая функция!!!!!!!!

[Полосин]

Если это произойдет на каком-то шаге, то какой-то из предыдущих параметров - фиктивный. Но тогда, положив этот параметр равным нулю (или устремив его к бесконечности), приходим к противоречию.

[infantier]

К противоречию с чем???