Вейвлеты. Есть ли теорема вида...

[st256]

Где-то 20 лет назад неожиданно выпорхнула тема вейвлет преобразований. Основной смысл этой математической приблуды выражался в том, что одномерные функции отображались не на одномерные, как в случае Преобразования Фурье

$ x(t) \rightarrow X(\omega) $

а на двумерные

$ x(t) \to X( \omega , \tau ) $

Естественно, получилась жуткая избыточность. Но все, почему-то, кинулись эти несчастные вейвлеты применять для компрессии информации. Логично, что практически у всех ничего и не получилось.

Но может вейвлеты просто используют не по назначению? В конце концов есть Преобразование Лапласа, которое тоже по своей сути двумерно. Если при работе с обычным дискретным преобразованием Фурье, нам необходима функция ограниченная по Котельникову, то при работе с вейвлетами такое ограничение уже не требуется.

К сожалению, нигде не могу найти строгих (как у Котельникова) доказательств теорем по вейвлетам. Вот сейчас мне нужно строгое доказательство теоремы вида

"...любую (или почти любую) функцию возможно разложить в счетный двумерный базис вейвлетов..." Имеется ввиду, что набор коэффицинтов разложения представляется из себя не более, чем бесконечную квадратную матрицу. Примерно так...

[Утундрий]

st256 писал(а):

Естественно, получилась жуткая избыточность. Но все, почему-то, кинулись эти несчастные вейвлеты применять для компрессии информации. Логично, что практически у всех ничего и не получилось.

Формат djvu тоже не получился?

[st256]

Утундрий писал(а):

st256 писал(а):

Естественно, получилась жуткая избыточность. Но все, почему-то, кинулись эти несчастные вейвлеты применять для компрессии информации. Логично, что практически у всех ничего и не получилось.

Формат djvu тоже не получился?

Я сказал "практически у всех", имея ввиду именно этот djvu. Ни про какой другой вариант использования вейвлетов я не знаю.

[Cat]

А как же Jpeg2000?

[Профессор Снэйп]

А что такое этот самый "вейвлет"? Я слово слышал краем уха, но что оно обозначает --- не знаю.

[Pavia]

Профессор Снэйп в сообщении #243782 писал(а):

А что такое этот самый "вейвлет"? Я слово слышал краем уха, но что оно обозначает --- не знаю.

Во-во хороший вопрос существует куча определений вейвлетов.

Цитата:

Если при работе с обычным дискретным преобразованием Фурье, нам необходима функция ограниченная по Котельникову, то при работе с вейвлетами такое ограничение уже не требуется.

Э...? Что-то я фразу не пойму.

Цитата:

"...любую (или почти любую) функцию возможно разложить в счетный двумерный базис вейвлетов..." Имеется ввиду, что набор коэффицинтов разложения представляется из себя не более, чем бесконечную квадратную матрицу. Примерно так...

Не хочу придираться к словам. А вот что такое "базис вейвлетов" я не нашел. В любом случае пропущено главное слово "однозначность" да и много других.

Доказать что любую непрерывную функцию вида $f(t)$ можно разложить в счетный набор коэффициентов используя алгоритм DWT и любую базисную функцию $\psi_{a,b} (t) $ $a,b$ целые числа. Этот набор коэффициентов позволит однозначно восстановить $f(t)$.

Очевидно что не любая функция $\psi_{a,b}(t)$ подходит к примеру $\psi_{a,b}(t)=0$
Хотя Котельников говорил о нижней границе. Минимально необходимом наборе коэффициентов.

Так как мы говорим о не конкретных функциях то надо изучать теорию групп пространств.

Тут вроде что-то есть
http://homepages.cwi.nl/~pauldz/wvl/lecture2.ps.gz

[st256]

Профессор Снэйп в сообщении #243782 писал(а):

А что такое этот самый "вейвлет"? Я слово слышал краем уха, но что оно обозначает --- не знаю.

Если очень грубо, то вейвлеты (всплески по-английски) это функции, которые существуют на каком-то ограниченоом участке. Типа "мексиканская шляпа" и проч. Т.е. в других местах оси времени они стремятся к нулю. Ну вы и можете разложить функцию в ряд Фурье на каком-то участке оси времени. Т.е. вейвлет зависит от двух переменных - частота и время. А Фурье - только от одной - частота. Очень примерно так.

[Профессор Снэйп]

Не совсем понятно. Какое ещё время? Мы вроде не физикой, а математикой занимаемся

Ладно, понимаю, что вопросы глупые. Каков вопрос, таков и ответ. Не буду больше из себя ламера корчить, лучше как-нибудь в энциклопедию залезу.

[Cat]

Самой точное и строгое определение вейвлета, которое встретилось мне, такое:
Функция $\psi (t)\in L^1(R)\cap L^2(R)$ называется вейвлет-функцией, если она удовлетворяет условию допустимости: \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\vert\hat{\psi}(w)\vert^{2}}{\vert w\vert}dw<\infty $, при этом $\hat{\psi}(w)$-Фурье-образ вейвлета.

-- Чт сен 17, 2009 11:23:22 --

Содержалось оно в книге Misiti M. Wavelets and their applications.