Натуральное уравнение эволюты

[Nxx]

Подскажите, пожалуйста, уравнение эволюты в натуральных координатах. Есть вот такое предположение, но я не знаю, правильное ли оно:

$$r_{\text{эволюты}}(s)=\frac{yy'}{(y^{[-1]})'}$$

где $y=r(s)$ - уравнение исходной кривой, а $y^{[-1]}$ - обратная функция.

Правльно ли это?

[Алексей К.]

Кажется, нет, хотя размерности не нарушены. Но после бани мне этим как-то неприлично зпниматься, и всерьёз смогу тока утром посмотреть.
А ежели кто-то Вам раньше поможет, то тоже, наверное, предложит уточнить формулировки. Ибо эти слова

Nxx писал(а):

... уравнение эволюты в натуральных координатах.
...где $y=r(s)$ - уравнение исходной кривой

требуют доосмысления. Буковку $y$ лучше не использовать, ибо она ассоциируется с $y$-координатой. В этой задачке координат нет.
У Вас есть натуральное уравнение кривой в виде $r=f(s)$, связывающее радиус кривизны и длину дуги. Никаких координат в нём нет (либо всё разннобразие терминов мне неведомо). Вы хотите найти натуральное уравнение эволюты, $R=g(S)$.
Можете также самопровериться: если у lданной кривой $r\sim s^p$, то у её эволюты $R\sim S^{\frac{2p-1}{p}}$. Это я, как бывший главный курволог, весьма уверенно утверждаю, даже после бани.

[Nxx]

Да, согласен, буква $y$ использована не очень удачно, но вы все правильно поняли. Можно записать так, чтобы не использовать $y$:

$$R(s)=\frac{r(s)r'(s)}{(r^{[-1]}(s))'}$$

[Алексей К.]

Ну и проверьте сразу на псевдоспирали $r\sim s^p$, т.е. то, что я предложил. Может, сразу закроем дело, если всё правильно.

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

$s$ одной кривой и $S$ другой (эволюты) тоже бы неплохо по-разному обзначить.
А может и так сойдёт...

[Nxx]

Цитата:

Ну и проверьте сразу на псевдоспирали $r\sim s^p$, т.е. то, что я предложил. Может, сразу закроем дело, если всё правильно.

Нет, получается про-другому. А вы знаете, как правильно?

Цитата:

$s$ одной кривой и $S$ другой (эволюты) тоже бы неплохо по-разному обзначить.

Вполне возможно, что в данном случае и r и R - функции от s. Чтобы получить R(S) надо делать дополнительные преобразования, чтобы выразить s через S.

[Алексей К.]

Nxx писал(а):

Вполне возможно, что в данном случае и r и R - функции от s. Чтобы получить R(S) надо делать дополнительные преобразования, чтобы выразить s через S.

Да, есть функции $s \to r$, $s\to R$, $S\to R$. Но Вы ведь хотите получить натуральное уравнение эволюты, т.е. зависимость ЕЁ радиуса кривизны от ЕЁ же длины дуги, т.е. $R(S)$. Ибо $R(s)$ --- зависимость радиуса кривизны ОДНОЙ КРИВОЙ от длины дуги какой-то ДРУГОЙ КРИВОЙ, ---- никакого интереса не представляет. Восстановить кривую по этой функции невозможно, и великий смысл натурального уравнения теряется.

У меня получилось следующее:

$$R(S)=S\cdot r'_s\left(r^{[-1]}(S) \right)$$

, и номер с псевдоспиралью прошёл.

Добавлено спустя 15 минут 52 секунды:

Предлагаю Вам изменить заголовок на "Натуральное уравнение эволюты". Впрочем, если слова "в натуральных координатах" не самопридуманные, а взяты из литературы, то расскажите об этом плиз.

[Nxx]

Классно!

А можно ли вывести такое же уравнение для эвольвенты?


И вообще, как вы это вывели?

Цитата:

Предлагаю Вам изменить заголовок на "Натуральное уравнение эволюты". Впрочем, если слова "в натуральных координатах" не самопридуманные, а взяты из литературы, то расскажите об этом плиз.

В английской Википедии это называется "натуральная система координат".

[Алексей К.]

Мы не очень спешим?
Я пока слиняю в Серпухов, а Вы ведь как-то выводили своё уравнение, распишите, поищем ошибочки (совсем ненастойчиво предлагаю). Наверное, и с эвольвентой получится.

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

Думаю, если в эволюте производная вылезла, то в эвольвенте первообразная будет фигурировать.

[Nxx]

Я взял из английской Википедии, где, как мне показалось, было неправильно. Сейчас я там заменил формулу на вашу.