Касание кривых второго порядка

[Skevalt]

Добрый день!
Буду очень благодарен, если кто-нибудь поможет разобраться в решении следующего вопроса.
Пусть у нас есть два непересекающихся эллипса в Декартовой системе координат (эллипсы произвольным образом смещены и повернуты относительно начала координат и оси абсцисс, следовательно, каждый из них описывается общим уравнением кривой второго порядка, которое нам известно). Далее, возможно построение двух пар прямых, являющихся общими касательными эллипсов (т.е., две пары "внешних" и "внутренних" касательных). Уравнения таких касательных можно искать "в лоб" - составив и разрешив уравнение касательной...
Вопрос, хотелось бы построить к двум вышеупомянутым эллипсам общую касательную - кривую второго порядка, а именно - гиперболу. Хотя бы одну... (если рисовать на листочке, то гипербол, касающихся эллипса может быть минимум 2 и больше). Порядок касания определяется равенством первых и вторых производных (хотя бы первых). Может касаться одной веткой или двумя (тут еще не определился).
Если кто-нибудь сталкивался с подобной постановкой задачи или чем-то подобным, огромная просьба посоветовать как быть или направить в нужную литературу:) Спасибо!

[Gafield]

Возьме по точке на каждом эллипсе с максимально возможным расстоянием между ними. Тогда отрезок их соединяющий будет ортогонален обоим эллипсам. Эти точки можно взять в качестве вершин гиперболы. Аналгично с минимальным расстоянием. Подгоняя параметры, можно добиться касания второго порядка.

[Алексей К.]

Семейство всех кривых второго порядка имеет 5 степеней свободы. Ограничимся кониками. Зафиксировав по точке на каждом эллипсе, сокращаем это дело до 3-х. Условия касания сужают семейство до однопараметрического. В этом семействе коник будут и эллипсы, и гиперболы, и параболы.

В частности (в некотором довольно широком классе граничных условий), будет подсемейство, в котором коника как бы вписывается в уголочек, образованный двумя отрезками касательных (от тех двух фиксированных точек до точки пересечения касательных). Вписанная дуга будет выпуклой. В гиперболическом случае это означает, что обе точки касания принадлежат одной ветви гиперболы.

Можно построить другое подсемейство, состоящее только из гипербол, такое, что обе точки касания принадлежат разным ветвям гиперболы. Подозреваю, что это подсемейство строится при любых граничных условиях.

Добиться касания второго порядка в общем случае не получится --- надо повысить порядок переходной кривой до 3-х. Либо задействовать те самые сразу зафиксированные степени свободы --- выбранные точки на каждом эллипсе. А все рассматриваемые кривые наделить определённой ориентацией (это замечание касается чисто техники расчётов).

Так мне кажется.

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

Возясь с чем-то подобным,

Алексей К. в сообщении #194730 писал(а):

Когда я работал на строительстве одного автобана, и понадобилось рассчитывать т.н. переходную кривую, ...

я упирался не более чем в многочисленные уравнения 3-й и 4-й степени, а вся возня была очень утомительной.

[VAL]

Gafield писал(а):

Возьме по точке на каждом эллипсе с максимально возможным расстоянием между ними. Тогда отрезок их соединяющий будет ортогонален обоим эллипсам. Эти точки можно взять в качестве вершин гиперболы. Аналгично с минимальным расстоянием. Подгоняя параметры, можно добиться касания второго порядка.

Я понимаю, что в исходной задаче этого не требовалось. Но все же.
А всегда ли можно добиться касания второго порядка с каждым эллипсом?
Попробовал представить, как может выглядеть подходящая гипербола, когда в качестве заданных эллипсов берутся две близко расположенные окружности существенно разных радиусов. Не получилось.





.

[Skevalt]

Всем огромное спасибо за участие! Опираясь на вышеподсказанное переформулировал задачу и более-менее осознал решение!

[Алексей К.]

VAL в сообщении #205840 писал(а):

А всегда ли можно добиться касания второго порядка с каждым эллипсом?

Мои предыдущие рассуждения ---

Алексей К. в сообщении #205822 писал(а):

Либо задействовать те самые сразу зафиксированные степени свободы --- выбранные точки на каждом эллипсе

приводят к наличию аж целого однопаметрического семейства коник, обеспечивающих такое касание.
Эти и следующие рассуждения требуют проверки и детализации, но воспоминания

Алексей К. в сообщении #205822 писал(а):

а вся возня была очень утомительной

не позволяют пока углубиться в это дело.

Конику (известный эллипс) $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ задаём 5-ю параметрами (коэффициентов кв. формы 6, но одно нормировочное условие можно навязать). Вторая коника (известный эллипс) $B=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$. $C=\{c_1,\ldots,c_5\}$ --- искомая коника. Условия касания можно выразить как $f_1(A,C)=0$, $f_1(B,C)=0$, Условия касания второго порядка --- дополнительно $f_2(A,C)=0$, $f_2(B,C)=0$. Имеем 4 уравнения для пяти неизвестных $c_i$, т.е. однопараметрическое семейство.

VAL в сообщении #205840 писал(а):

Попробовал представить, как может выглядеть подходящая гипербола, когда в качестве заданных эллипсов берутся две близко расположенные окружности существенно разных радиусов. Не получилось.

А в этом случае окажется, что найденная коника --- не гипербола. В других "ненаглядных" случаях точки касания могут оказаться мнимыми, и т.п. Здесь и требуется та самая детализация, выяснение условий, когда решения действительные и хотя бы частично гиперболические.

Всё сказанное --- не более, чем план действий, если бы я брался за такую задачу. И некий недавний опыт, где "точки на эллипсах" были фиксированы, но переходная кривая была 4-го порядка (и с монотонной кривизной).
Вот бы мне такую работёнку найти, чтоб решать такие задачки не спеша и в рабочее время! А то пока только поваром предлагают, а мне это уже как-то надоело...

Добавлено спустя 49 минут 59 секунд:

А порешать численно каким-нибудь мат-пакетом --- вроде как и не страшно совсем.

[VAL]

Алексей К. писал(а):

VAL в сообщении #205840 писал(а):

А всегда ли можно добиться касания второго порядка с каждым эллипсом?

Мои предыдущие рассуждения ---

Алексей К. в сообщении #205822 писал(а):

Либо задействовать те самые сразу зафиксированные степени свободы --- выбранные точки на каждом эллипсе

приводят к наличию аж целого однопаметрического семейства коник, обеспечивающих такое касание.
[...]
Имеем 4 уравнения для пяти неизвестных $c_i$, т.е. однопараметрическое семейство.

VAL в сообщении #205840 писал(а):

Попробовал представить, как может выглядеть подходящая гипербола, когда в качестве заданных эллипсов берутся две близко расположенные окружности существенно разных радиусов. Не получилось.

А в этом случае окажется, что найденная коника --- не гипербола.

В том то и дело! Ведь автор топика говорил именно о гиперболе.
Впрочем он и о касании второго порядка ни словом не обмолвился

Цитата:

Вот бы мне такую работёнку найти, чтоб решать такие задачки не спеша и в рабочее время! А то пока только поваром предлагают, а мне это уже как-то надоело...

А поваром где, на LHC?

[Алексей К.]

Не, там я завязал, здесь ищу jobик какой-нибудь...

Добавлено спустя 6 минут 59 секунд:

VAL в сообщении #205904 писал(а):

В том то и дело! Ведь автор топика говорил именно о гиперболе.

Ну типа параметром семейства $C$ будет, например, эксцентриситет. Если $|C|>1$ пересекается с $ [C_{min},C_{max}]$, то среди сопрягающих коник появятся и гиперболы. И переход с эллипсов на гиперболы будет, естественно, через параболу.

Добавлено спустя 3 минуты 54 секунды:

VAL в сообщении #205904 писал(а):

Впрочем он и о касании второго порядка ни словом не обмолвился

Именно обмолвился:

Skevalt в сообщении #205564 писал(а):

Порядок касания определяется равенством первых и вторых производных (хотя бы первых).

[VAL]

Алексей К. писал(а):

VAL в сообщении #205904 писал(а):

Впрочем он и о касании второго порядка ни словом не обмолвился

Именно обмолвился

И правда!
Как я читал!?

[Алексей К.]

VAL в сообщении #205840 писал(а):

Попробовал представить, как может выглядеть подходящая гипербола, когда в качестве заданных эллипсов берутся две близко расположенные окружности существенно разных радиусов. Не получилось.

А Вы наоборот действуйте, и всё получится.

Возьмите одну ветвь канонически расположенной гиперболы, левую или правую. Нарисуйте круг кривизны $A$ в вершине и круг кривизны $B$ в бесконечно удалённой точке. Последний совпадёт с асимптотой. Т.е. наш заданный эллипс $B$ будет, пардон, бесконечного радиуса. Теперь устраним этот недостаток: от бесконечно удалённой точки уйдите чуть-чуть в конечность, на самую малость (в Дискуссионных темах тамошние инфинологи так, похоже, умеют делать). Иными словами, чтобы тот круг кривизны уже не через начало координат проходил, а чуть-чуть сбоку, на епсилон, не более. Прежняя асимптота слегка искривится в честную окружность огромного радиуса. Круги зелёненькими нарисуйте, а гиперболу --- красненькой.

По-моему, вожделенная конфигурация вполне получается.

Добавлено спустя 14 минут 41 секунду:

Мудрить с епсилонами не надо. Круг А в вершине, круг В --- где угодно на той же ветви. Круг А всегда внутри В. Отношение радиусов и межцентровое расстояние можно сделать какими угодно, варьируя ещё и эксцентриситет гиперболы.

Берём В на другой ветви, получаем конфигурацию с "эллипсами", расположенными рядом друг с другом.

[VAL]

Алексей К. писал(а):

VAL в сообщении #205840 писал(а):

Попробовал представить, как может выглядеть подходящая гипербола, когда в качестве заданных эллипсов берутся две близко расположенные окружности существенно разных радиусов. Не получилось.

А Вы наоборот действуйте, и всё получится.

Возьмите одну ветвь канонически расположенной гиперболы, левую или правую. Нарисуйте круг кривизны $A$ в вершине и круг кривизны $B$ в бесконечно удалённой точке. Последний совпадёт с асимптотой. Т.е. наш заданный эллипс $B$ будет, пардон, бесконечного радиуса. Теперь устраним этот недостаток: от бесконечно удалённой точки уйдите чуть-чуть в конечность, на самую малость (в Дискуссионных темах тамошние инфинологи так, похоже, умеют делать). Иными словами, чтобы тот круг кривизны уже не через начало координат проходил, а чуть-чуть сбоку, на епсилон, не более. Прежняя асимптота слегка искривится в честную окружность огромного радиуса. Круги зелёненькими нарисуйте, а гиперболу --- красненькой.

По-моему, вожделенная конфигурация вполне получается.

Все ясно! А я-то, дурак, все наоборот делал! Круги красненькими, а гиперболу - зелененькой!

[vvvv]

Вот картинка.Но если строить точно, то гипербола по-моему
вырождается в пару прямых

[VAL]

vvvv писал(а):

Вот картинка.Но если строть точно, то гипербола по-моему
вырождается в пару прямых

Да и касание явно не второго порядка

[Dimoniada]

Gafield писал(а):

Возьме по точке на каждом эллипсе с максимально возможным расстоянием между ними. Тогда отрезок их соединяющий будет ортогонален обоим эллипсам. Эти точки можно взять в качестве вершин гиперболы. Аналгично с минимальным расстоянием. Подгоняя параметры, можно добиться касания второго порядка.

Очень красиво!