О равенстве фигур

[Sasha2]

В книге Адамара (Элементарная геометрия, Планиметрия) есть такая лемма (стр. 60)

Лемма: Две фигуры F и F' будут равны и будут иметь одно и то же направление вращения, если между точками обеих фигур соответствуют друг другу таким образом, что треугольники ABC и A'B'C', образованные соответствующими точками обеих фигур равны, а соответственные углы этих треугльников имют одно и тоже напраление вращения, как бы ни выбирать точку С.

Вопрос такой: не пропущено ли выражение "взаимно однозначно" между словом "фигур" и словом "соответствуют"?

[Алексей К.]

Цитируя Адамара, Sasha2 в сообщении #205433 писал(а):

если между точками обеих фигур соответствуют друг другу таким образом,

Явный недочёт редактора. Если это --- оригинал, и если Вы найдёте соответствующее место, можно попробовать переперевести.
Мне найти не удалось.

Добавлено спустя 17 минут 50 секунд:

А фраза вроде

Sasha2 в сообщении #205433 писал(а):

Две фигуры F и F' будут равны и будут иметь одно и то же направление вращения,

попадается часто и переведена, по-моему, плохо: речь идёт об одинаковом направлении обхода:

Jacques Hadamard писал(а):

...deux figures égales et de même sens. (тчк)

Добавлено спустя 14 минут 27 секунд:

Нашёл (стр.42).

Я бы так на писал(а):

Лемма: Две фигуры F и F' равны и имеют одинаковое направление обхода (sens de rotation), если точки обеих фигур соответствуют друг другу таким образом, что для трёх точек A, B, C одной фигуры и соответствующих точек A', B', C' другой, образованные ими треугольники всегда равны с одинаковым направлением обхода, как бы ни выбирать точку С.

А "взаимная однозначность", естественно, подразумевается, и уточнять это, по-моему, ни к чему. Слово "соответствуют" самодостаточно. Один раз нашли подходящую маркировку $A,B,C_1,C_2,C_3,\dots$, проверили, и ça va.

[Sasha2]

Нет ну это все же учебник ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Материал для 6 класса.

Дело в том, что меня озадачило то, что без явного указания ВЗАИМНОЙ ОДНОЗНАЧНОСТИ получается так, что присоединив ко второй фигуре еще одну точку снова получим соблюдение всех условий теоремы, а значит и равенство исходной фигуры новой, но этого быть не может.

[gris]

Алексей К., мне кажется, что тут ключевое слово "обеих".
Sasha2 привёл пример, когда неправильно сработало бы такое утверждение: "если для любых трёх точек первой фигуры, соответствующие точки второй...".

[Алексей К.]

Я современным уровнем математического педантизма, признаться, не владею. И Адамар писал это в 1898-1901 гг. По мне при разном количестве точек ("присоединив ко второй фигуре еще одну точку") о соответствии говорить не приходится. Или реплик обеих не понял.
Я типа попереводил --- ибо изначальный текст был с дефектом, --- а вы уж как-нибудь в геометрии разберитесь.

[gris]

Да это всё, как с параллелограммом и трапецией, точкой перегиба. Чисто методические трудности. Большинство учеников и не будут копаться в тонкостях. А любопытные и желающие разобраться ученики часто задают подобные вопросы. В школьных учебниках излишняя строгость может быть и никчему.
Но что интересно. Школьные учебники по химии и физике в общем однотипны. Ток - везде направленное движение заряженных частиц.
А я знаю три совершенно разных учебника по геометрии. Разных даже по определениям. И по обсуждаемому определению равенства фигур особенно.

[Sasha2]

Нет тут дело не в педантизме.
И мне кажется Вы заблуждаетесь, просто путая такие понятия, как СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ двух каких-либо взятых фигур (как равных, так и нет) фигур и СОВМЕЩЕНИЕ ЭТИХ ФИГУР.
Так вот в данной лемме речь идет как раз о том, когда такое соотвествие есть условие достаточное для совмещения обеих фигур (то есть наложения одну на другую в том смысле, что они полностью совпадут во всех своих частях).

[ewert]

gris в сообщении #205489 писал(а):

А я знаю три совершенно разных учебника по геометрии. Разных даже по определениям. И по обсуждаемому определения равенства фигур особенно.

А неудивительно. Скажем, в гильбертовской попытке навести порядок в евклидовой геометрии одно только перечисление аксиом занимает страницы так полторы убористого текста. Естественно, никому в школе это не нужно, и каждый делает те выжимки, которые ему приятнее. И вообще: ситуация, когда к определению одного и того же понятия подходят с разных сторон -- для математики вообще типична. Поскольку заметную долю математики составляют критерии, а что при этом считать курицей и что яйцом -- исключительно дело вкуса.

Мне по этому поводу припомнился один тривиальный пример. Вот все говорят, что геометричские вектора определены, мол, с точностью до параллельного переноса. А как формально это определить?... Тут самые разные слова произносить можно.

[gris]

Как элемент фактор-множества векторов по эквивалентности совмещением некоторым параллельным переносом

Ну вот как объяснить, почему треугольники (разносторонние) $ABC$ и $BCA$ отнюдь не равны?!

[ewert]

gris в сообщении #205495 писал(а):

Как элемент фактор-множества векторов по эквивалентности совмещением некоторым параллельным переносом

Само собой. Правда, произносить эти слова следует не в школе, а уже потом, как характерную иллюстрацию самого понятия факторизации. Но интереснее другое: а что такое сам по себе параллельный перенос?...

[gris]

Ну мы же в Евклидовом пространстве, надеюсь, всё это рассматриваем. Тогда через движения. Лучше через систему координат. Я согласен, что если ковыряться, то кровь может пойти. Надо тогда начинать с определения связанного вектора.

Вот ещё один пример непоняток -почему вектор, который прявязан к началу координат, называется свободным, а которые по всей плоскости гуляет - связанным. (Это не я спросил!!!)

[ewert]

gris в сообщении #205499 писал(а):

Вот ещё один пример непоняток -почему вектор, который прявязан к началу координат, называется свободным, а которые по всей плоскости гуляет - связанным. (Это не я спросил!!!)

Надеюсь. Потому что всеми считается приблизительно наоборот.

А что касается параллельного переноса, то я лично предпочитаю не заморачиваться всякими там переносами, а говорить честно и открыто: два (связанных) вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ считаются равными (или эквивалентными, это непринципиально), если $ABDC$ -- это параллелограмм.

[gris]

А что есть параллелограмм? Вырожденный в отрезок тоже считается?

[ewert]

Естественно.

[Алексей К.]

Чёй-то мы сегодня уже под вторым деревом на троих соображаем...
Может, парню по делу ответить получится? Я-то вон какую работёнку провернул, первоисточник перекопал, вам чуть-чуть осталось...