Несколько задач по линейной алгебре.

[Lexin]

1. пусть G - группа, H1 ≤ G , H2 ≤ G . Доказать, что если |H1|=45 и |H2|=98, то H1H2={e}
2. Построить таблицу Кэли для следующей группы: симметрическая группа S3 относительно умножения подстановок.
3. Является ли группой следующая алгебраическая система <{a, bi}, . > , где a,b ∈\{0}
4. Найти всевозможные гоморфизмы группы С17 в подгруппу С20
5. решить сравнения:
а) 1564x≡247(mod457)
б) 246x≡114(mod486)

Ps 1-4 смутно представляю как решать... 5ое а) начал решать но после того как использовал алгоритм евклида забыл что там дальше нужно делать...
Pss а разве может коэфициент который при x быть больше чем mod? (5, б)

Помогите плиз!

[Алексей К.]

Lexin в сообщении #205040 писал(а):

б) 246x≡114(mod486)

Pss а разве может коэфициент который при x быть больше чем mod? (5, б)

Просют найти число, кратное 246 (оттого его и обозначили $246x$), которое при делении на 486 даёт в остатке 114. Вполне разумная просьба. Причём там какие-то коэффициенты?
Вот $1000x\equiv 2(\mod 3)$ я в уме способен решить: $x=2$ и не только...

[мат-ламер]

Lexin. Напишите о своих смутных догадках по поводу первых 4-х задач.

[Lexin]

1. ни единой мысли
2. надо както найти все числа входящие в эту группу..(помоему это все числа от 0 до 3 взаимно простые с 3; НО у меня великое сомнение), таблицу Кэли составлять умею
3. надо както проверить на выполнение свойств алгебраической системы...(
4. нет вариантов.

[Brukvalub]

Lexin в сообщении #205040 писал(а):

1. пусть G - группа, H1 ≤ G , H2 ≤ G . Доказать, что если |H1|=45 и |H2|=98, то H1H2={e}

Рассуждайте "от отвратительного" и используйте тот факт, что порядок элемента должен делить порядок группы.

Lexin в сообщении #205040 писал(а):

2. Построить таблицу Кэли для следующей группы: симметрическая группа S3 относительно умножения подстановок.

Прямо по определению и стройте. Обозначьте элементы группы символами - и вперед!

Lexin в сообщении #205040 писал(а):

4. Найти всевозможные гоморфизмы группы С17 в подгруппу С20

Опять см. т Лагранжа.

[Lexin]

так а S3 это можно сказать что циклическая группа (0,1,2,e), или я неправильно понимаю?

[Brukvalub]

Lexin в сообщении #205263 писал(а):

так а S3 это можно сказать что циклическая группа (0,1,2,e), или я неправильно понимаю?

Всякая конечная группа простого порядка - циклическая, так что все правильно.

[Lexin]

$\begin{array}{*{20}c} * & e & {g_1 } & {g_2 } & {g_3 } \\ e & e & {g_1 } & {g_2 } & {g_3 } \\ {g_1 } & {g_1 } & e & {g_3 } & {g_2 } \\ {g_2 } & {g_2 } & {g_3 } & e & {g_1 } \\ {g_3 } & {g_3 } & {g_2 } & {g_1 } & e \\ \end{array}$

так должно выйти?

[VAL]

Brukvalub писал(а):

Lexin в сообщении #205263 писал(а):

так а S3 это можно сказать что циклическая группа (0,1,2,e), или я неправильно понимаю?

Всякая конечная группа простого порядка - циклическая, так что все правильно.

С последним никто не спорит!
Но причем здесь симметрическая группа $S_3$?
Она, как известно, имеет составной порядок и не является не только циклической, но даже абелевой.

Добавлено спустя 9 минут 54 секунды:

Lexin писал(а):

так а S3 это можно сказать что циклическая группа (0,1,2,e), или я неправильно понимаю?

Верна лишь последняя часть Вашего утверждения
Группа $S_3$ состоит из всех биективных отображений трехэлементного множества на себя. А групповой операцией является композиция (т.е. последовательное выполнение) отображений.
Для того чтобы решить задачу, Вам надо выписать все элементы $S_3$ (в качестве носителя удобно взять множество $\{1,2,3\}$), перемножить каждый элемент на каждый и занести результаты в таблицу.

И еще вопрос: какое отношение имеют все перечисленные задачки именно к линейной алгебре?

Добавлено спустя 8 минут 7 секунд:

Lexin писал(а):

$\begin{array}{*{20}c} * & e & {g_1 } & {g_2 } & {g_3 } \\ e & e & {g_1 } & {g_2 } & {g_3 } \\ {g_1 } & {g_1 } & e & {g_3 } & {g_2 } \\ {g_2 } & {g_2 } & {g_3 } & e & {g_1 } \\ {g_3 } & {g_3 } & {g_2 } & {g_1 } & e \\ \end{array}$

так должно выйти?

Если Вас просили построить таблицу Кэли для четверной группы Клейна, то Ваш ответ был бы верен
Но для $S_3$ все не так. Начиная с количества элементов.

[Lexin]

VAL писал(а):

И еще вопрос: какое отношение имеют все перечисленные задачки именно к линейной алгебре?

Ну это такие у нас задачи по линейке=)