Перестановочные матрицы, определитель

[bull_mipt]

Квадратные матрицы А и В- перестановочны (АВ=ВА)

Доказать, что det(A^2+B^2)>=0

[bull_mipt]

Квадратные матрицы А и В- перестановочны (АВ=ВА)

Доказать, что det(A^2+B^2)>=0

[Полосин]

Подсказка: разложите сумму квадратов в произведение комплексно-сопряженных матриц (матрицы $A,B$, очевидно, действительные, поскольку уже для комплексных чисел это неверно: $A=i, B=0$).

[bull_mipt]

det(A^2+B^2)=det(A+iB)det(A-iB)=x*Conjugate(x)>=0

Так?

[Полосин]

Да.

[bull_mipt]

Спасибо!

[Хорхе]

$\det A = z\overline z = |z|^2$, где $z = \det (A+iB)$.

[ИСН]

Или так: раз перестановочны, значит, их можно диагонализировать в одном и том же базисе. Тогда в этом же базисе матрица $A^2+B^2$ будет...

[bull_mipt]

Диагонализуема <=> существует базис из собственных векторов. Для матриц общего вида- не факт.

[ASA]

Хорхе писал(а):

$\det A = z\overline z = |z|^2$, где $z = \det (A+iB)$.

Есть опечатка.

Добавлено спустя 44 минуты 9 секунд:

bull_mipt, зачем темы дублировать?

[maxal]

bull_mipt
предупреждение за дублирование тем!