2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите найти сумму ряда
Сообщение13.04.2009, 09:27 
Всем привет! Вот заморочился на подсчет суммы такого ряда:
$ \sum_{n=1}^\infty \frac {1} {n(n+1)2^n} $
Помогите пожалуйста.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2009, 09:36 
Сводится к двукратному интегралу от суммы геометрической прогрессии $\sum x^n$ при $x=1/2.$

-----------------------------------------------------------
gris, а что Вы застеснялись? Разумное же было предложение -- представить ${1\over n(n+1)}$ как ${1\over n}-{1\over n+1}.$ Это действительно заметно облегчает жизнь.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2009, 10:20 
Аватара пользователя
Ну Вы уже приводили примеры нахождения сумм рядов с помощью дифференцирования или интегрирования функциональных рядов, суммы которых известны. А тут прямо бросается в глаза наличие $n(n+1)$ в знаменателе. Ясно, откуда они могут появиться...

Но мне, к сожалению, бросилось в глаза только разложение на разность дробей. А оно уж не так и облегчает жизнь:( Никак не могу заставить себя остановиться и подумать.

Главное, при окончательном подсчёте не забыть вынести за скобки 1/2

 
 
 
 
Сообщение13.04.2009, 10:29 
Ну всё-таки облегчает. При повторном интегрировании придётся брать интеграл от логарифма, что не то что бы смертельно, но несколько противно.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2009, 10:37 
Аватара пользователя
Интеграл от логарифма вполне бы можно включить в табличные интегралы.
Очень многие не могут понять, как интегрировать его по частям? Там же нет второй функции:)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group