Помогите найти сумму ряда

[vunshpunsh]

Всем привет! Вот заморочился на подсчет суммы такого ряда:
$ \sum_{n=1}^\infty \frac {1} {n(n+1)2^n} $
Помогите пожалуйста.

[ewert]

Сводится к двукратному интегралу от суммы геометрической прогрессии $\sum x^n$ при $x=1/2.$

-----------------------------------------------------------
gris, а что Вы застеснялись? Разумное же было предложение -- представить ${1\over n(n+1)}$ как ${1\over n}-{1\over n+1}.$ Это действительно заметно облегчает жизнь.

[gris]

Ну Вы уже приводили примеры нахождения сумм рядов с помощью дифференцирования или интегрирования функциональных рядов, суммы которых известны. А тут прямо бросается в глаза наличие $n(n+1)$ в знаменателе. Ясно, откуда они могут появиться...

Но мне, к сожалению, бросилось в глаза только разложение на разность дробей. А оно уж не так и облегчает жизнь:( Никак не могу заставить себя остановиться и подумать.

Главное, при окончательном подсчёте не забыть вынести за скобки 1/2

[ewert]

Ну всё-таки облегчает. При повторном интегрировании придётся брать интеграл от логарифма, что не то что бы смертельно, но несколько противно.

[gris]

Интеграл от логарифма вполне бы можно включить в табличные интегралы.
Очень многие не могут понять, как интегрировать его по частям? Там же нет второй функции:)