Параметризация поверхности

[matan]

Помомгите пожалуйста параметризовать часть поверхности цилиндра

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

заключенной между плоскостями

\[ x + y + z = 0 \]

и

\[ z = y + 5 \]

[vvvv]

Вы имеете в виду - записать уравнение от 2-х параметров,
дающее изображение части цилиндра, заключенного
между плоскостями?
см. картинку

[Brukvalub]

А нужно ли ее параметризовывать? (ведь идея параметризации, наверняка, пришла в ходе решения какой-то задачи, которая, возможно, решается и без параметризации).

[matan]

Brukvalub в сообщении #204223 писал(а):

ведь идея параметризации, наверняка, пришла в ходе решения какой-то задачи

Вы правы.Нужно найти площадь части поверхности цилиндра

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

заключенной между плоскостями

\[ x + y + z = 0 \]

и

\[ z = y + 5 \]

при помощи поверхностных интегралов первого рода

[ewert]

Тогда задача достаточно противная. Хотя считается легко -- правда, с некоторой примесью жульничества. Надо перейти в цилиндрические координаты, представить линии пересечения как $\rho=1,$ $z=z_1(\varphi)$ и $z=z_2(\varphi)$, после чего элемент площади может быть записан как $(z_2(\varphi)-z_1(\varphi))\cdot1\cdot d\varphi.$

[gris]

А ещё можно чисто геометрически решить, найдя четыре условных экстремума по правилу Лагранжа. Просто картинкой vvvv навеяло.

[matan]

ewert в сообщении #204233 писал(а):

Хотя считается легко -- правда, с некоторой примесью жульничества

А как бы без "жульничечтва"?

[ewert]

Так жульничество тут только в том, что элемент площади поверхности сходу записан как $\rho\,d\varphi\,dz$ и сразу же в уме проинтегрирован по $z$. Как формально обосновывать -- даже думать лень.

[vvvv]

Здесь, вообще, можно без интегрального исчисление, для чего нужно вычислить
боковую поверхность 3-х цилиндров соответствующей высоты, взяв половины
верхнего и нижнего и всю - среднего

[ewert]

matan в сообщении #204226 писал(а):

Нужно найти площадь части поверхности цилиндра <...> при помощи поверхностных интегралов первого рода

[vvvv]

Это я так, между прочим

[Someone]

ewert в сообщении #204233 писал(а):

с некоторой примесью жульничества. Надо перейти в цилиндрические координаты

Так переход к цилиндрическим координатам и даёт требуемую параметризацию.

[ewert]

vvvv в сообщении #204290 писал(а):

Это я так, между прочим

Между прочим -- это совершенно верно. Не считая того, что в том варианте текста это совершенно непонятно -- и, с другой стороны, правилам игры не отвечает.

Someone в сообщении #204392 писал(а):

Так переход к цилиндрическим координатам и даёт требуемую параметризацию.

Ну, наверное.

[vvvv]

А ответ получается коротким - 10pi