Разминка для ума

[VSSISTU]

Уважаемые форумчане, я решил две задачки и хочу поинтересоваться, какие решения можете предложить, вы, задачи предельно простые, для разминки ума:
1) Существует ли функция $ f : R\to R $,причем функция не константа, удовлетворяющая неравенству $ {(f(x)-f(y))^2}\leqslant {\left| x-y \right|}^3 \forall x,y\in R $
2) Найти объем тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y={e^{-x}}*\sqrt[4]{sin^2 x} $ вокруг оси OX, x>=0

[photon]

Скажите, какой получили ответ, раз уж решили... а то я вот почему-то не верю, что просто так захотелось посмотреть, как решат другие

[Руст]

1. Очевидно не существует. Имеем $|f(x)-f(0)|\le n|x/n|^3=x^3/n^2=0(n\to \infty).$
2. Если не ошибся в выделениях мнимой части при вычислении, то ответ: $\frac{1+e^{-2\pi}}{5(1-e^{-2\pi})}$.

[Trueman]

По поводу первой задачи сразу можно сказать что среди хотябы частично дифференцируемых функций такой нет, так как такому условию в этом случае может удовлетворить лишь постоянная, так как это условие верно для всех х,у , то переписав данное неравенство и рассмотрев его предел получим $(f'(x))^2\leqslant 0$, что очевидно может оказаться верным лишь для постоянной. Для сильно изломанных функций вроде бы этот факт не так очевиден.

[Феликс Шмидель]

Решение Трумэна понятно, а что такое n у Руста мне непонятно.

[Руст]

Думал что и так очевидно. Вот подробнее:

$$|f(x)-f(0)|\le \sum_{k=1}^n |f(\frac{kx}{n})-f(\frac{(k-1)x}{n})| \le \frac{|x|^3}{n^2}.$$

Далее устремляем n к бесконечности.

[Trueman]

Руст писал(а):

Думал что и так очевидно. Вот подробнее:

$$|f(x)-f(0)|\le \sum_{k=1}^n |f(\frac{kx}{n})-f(\frac{(k-1)x}{n})| \le \frac{|x|^3}{n^2}.$$

Далее устремляем n к бесконечности.

Что-то мне хоть так, хоть сяк не очевидно , я не понял куда квадраты делись или они как то в модули превратились? и как вообще полученно первое неравенство?

[Феликс Шмидель]

Да, но решение Руста можно исправить, и всё получится.
Теперь, оно мне очень нравится, потому что сразу получается результат без производной.

[Руст]

На самом деле работает для любой функции |f(x)-f(y)|<g(|x-y|), если g(x)/x стремится к нулю при х стремящемся к нулю.

[Trueman]

Феликс Шмидель писал(а):

Да, но решение Руста можно исправить, и всё получится.
Теперь, оно мне очень нравится, потому что сразу получается результат без производной.

Может покажете как исправить, хотелось бы увидеть общее доказательство без производной.

[Руст]

Мне не понятно, как можно ещё исправлять очевидные вещи. Покажу ещё подробнее:

$$|f(x)-f(0)|=|f(x)-f(x_{n-1})+f(x_{n-1}-f(x_{n-2})+f(x_{n-3})+...-f(x_1)+f(x_1)-f(x_0)|,$$

где введены точки: $x_i=\frac{ix}{n}, x_i-x_{i-1}=\frac xn .$
Далее применяем неравенство относмтельно суммы n разностей, учитывая, что:
$|f(x_i)-f(x_{i-1})|\le g(\frac{|x|}{n})$ получаем:
$|f(x)-f(0)|\le ng(\frac{|x|}{n}).$
Учитывая, что число n можем взять произвольно большей и предел ng(x/n) стремится к нулю получаем, что функция постоянная.

[VSSISTU]

Огромное спасибо за предложенные решения, отдельное спасибо Русту за красивое доказательство, а вообще господа математики данные задания с областной олимпиадаы по математике, я обращаюсь к вам, как к профессионалам, завтра иду на апелляцию, так как мне поставили баранку за решенное мною задание, напишите кто-нибудь рецензию или укажите ошибки в следующем, я если честно не понимаю почему мне поставили 0 за решенную задачу, пойду завтра на апелляцию все-таки хочу узнать в чем дело:
Необходимо найти сумму ряда:
$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac {\sin nx} {n!} = Jm (\sum\limits_{i=1}^\infty \frac {z^n} {n!})=Jm (\sum\limits_{i=1}^\infty e^ {cos(x)+i*sin(x)})=\exp(cos(x))*sin(sin(x))$

[shwedka]

Ну, в первом и во втором члене суммирование по $i$ , а оно в сумманд не входит.
в третьем члене сумма зря написана. Буква $i$ работает за двоих!!
По существу, конечно, не страшно, но формально нехорошо. При желании, можно и придраться

[Руст]

Всё правильно. Наверно в жюри не достойные люди (часто встречающаяся ситуация). Если не учесть указанные грамматические ошибки.
Да это возможно школьная олимпиада, там вроде сейчас не изучают комплексные числа. Может из-за этого придирались. Без использования комплексных чисел не существует короткого решения.

[VSSISTU]

Как не печально осознавать, но олимпиада далеко не школьная, а областная среди студентов старших курсов по математике студентов технических вузов Вот выкладываю условия олимпиады, задачи предельно простые
[img]webfile.ru/907574[/img]