Уравнение Пуассона в круге

[Falex]

Добрый день.Не подскажите как найти решение уравнения Пуассона в круге в виде ряда.
Вот само уравнение:

$\Delta u +m(x)=0$,где $\Delta$ - оператор Лапласа.
Граничные условия: $u=const$ на границе,т.е. при r=R

[shwedka]

По какой книжке учитесь? Какая книжка есть??

[Falex]

А имеет значение по какой книжке учимся?
Я никак и нигде не могу найти решение этого уравнение в виде ряда в круге.Есть решение в виде интеграла,но это не то:
delta(u)+m(x)=0

Есть книжка Тихонов,Самарский в электронном виде.
Решение этого уравнения складывается из однородной и неоднородной составляющих.
Однородную составляющую найти просто:это решение уравнения Лапласа.А вот с неоднородностью ничего не понятною

[shwedka]

А тогда я буду знать, по какой книжке указания давать.
И буду опираться на Ваши знания.

Что Вас больше устраивает:
сложные интегральные формулы или ряд по функциям Бесселя??

[Falex]

Мне бы надо представить решение в виде ряда.
А через интеграл у меня есть ответ:
http://slil.ru/22679983/633686801/1020.gif

[shwedka]

Хорошо. откройте Тихонова, на стр, 431.Там строится система собственных функций для оператора Лапласа с нулевыми граничными условиями.
Они написаны на стр 434, формула 35.

После этого ищите ваше решение в форме ряда
$u(r,\phi)=\sum _n\sum_m (c_{nm}\bar{v}_{nm}+c'_{nm}\bar{\bar{v}}_{nm})$
с неизвестными коэффициентами
$(c_{nm}, c'_{nm}$.
Подствьте в уравнение. Умножьте на одну из собственных функций
и проинтегрируйте по кругу. Из-за ортогональности останется из всего огромного ряда только одно слагаемое, и из него определите коэффициент.

Все это делается после того, как вы сделали граничные условия Вашей задачи нулевыми, вычтя константу/

[Falex]

Для начала:когда мне перейти к замене x=r*cos(phi),y=r*sin(phi).Ведь область - это круг.Поэтому,надо перейти к полярным координатам.

[shwedka]

правильно, давайте.

[Falex]

А крайняя формула на стр.435 и коэффициенты на стр.436 это не то,что мне надо?

[shwedka]

Не совсем, но близко. Эти формулы Вы примените для правой части, которая дана, но ведь Вам нужно еще уравнение решить. Прочитайте еще раз мои указания.

[Falex]

Т.е.
1)u(r,phi) в форме ряда (который Вы написали) мне надо подставить в такое уравнение
http://slil.ru/22681701/982903964/1.GIF
(так находится оператор Лапласа в полярных координатах)с собственными функциями на стр.434 формула (35).
2)А когда домножать на одну из собственных функций (которые на стр.434 формула 35)?

[shwedka]

То. что Вы написали, это не уравнение а только его левая часть. Еще правая есть. Да, в эту левую часть нужно подставить предполагаемо решение в форме ряда. упростить, пользуясь уравнением для собственных функций, первым уравнением на стр. 431.
В качестве $\lambda$ подставлять его конкретные значения из последний формулы на стр 433. потом умножать.потом интегрировать.

[Falex]

Вы под правой частью имеете ввиду функцию m(x)?
В чём я думаю будет сложность:в функциях Бесселя.

[shwedka]

Falex писал(а):

Вы под правой частью имеете ввиду функцию m(x)?
В чём я думаю будет сложность:в функциях Бесселя.

А что еще в Вашем уравнении справа стоит?? какая сложность???

[Falex]

Больше ничего не стоит
Сегодня попробую сделать первый этап:подставить тот самый ряд в левую часть.