Лексикографический порядок на комплексных числах

[Егор]

Обозначим через $\preceq$ отношение нестрогого лексикографического порядка на множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$:

$$x_1+iy_1\preceq x_2+iy_2 \quad\Longleftrightarrow\quad x_1<x_2\quad\vee\quad(x_1=x_2\ \wedge\ y_1\le y_2).$$

Рассмотрим подмножество $X_n$ множества $\mathbb{C}^n$, состоящее из наборов, которые упорядочены в смысле $\preceq$:

$$X_n=\{(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb{C}^n\colon z_1\preceq z_2\preceq\ldots\preceq z_n\}.$$

Множество $\mathbb{C}^n$ (и его подмножество $X_n$) будем снабжать обычной евклидовой метрикой.

Проблема: В одной статье написано, будто $X_n$ замкнуто в $\mathbb{C}^n$. По-моему, при $n\ge2$ это не так.

Ради простоты, построим контрпример для $n=2$. Элементы последовательности $(-1/n,-i)$ принадлежат $X_2$, но предел равен $(0,-i)$ и не принадлежит $X_2$.

Пожалуйста, помогите разрешить сомнение.

[Хорхе]

В одной статье ошибка. (Да и не в одной, а почти во всех.)

А Вы абсолютно правы.




(Бред потерт.)

[Егор]

Хорхе, спасибо за ответ!
Если вдруг решите уточнить "бред" (о том, насколько плох лексикографический порядок), то мне будет очень интересно.

Мои сомнения произошли из-за того, что вся та небольшая статейка (Raul Naulin, Carlos Pabst "The roots of a polynomial depend continuously on its coefficients", Rev. Colombiana Mat. 1994) основана на этой ошибке. Авторы считали очевидным, что $X_n$ замкнуто в $\mathbb{C}^n$.

В той статье авторы предлагали упорядочивать корни многочлена с помощью этого отношения $\preceq$, то есть рассматривать набор корней как элемент $X_n$. Затем, опираясь на "очевидную" полноту $X_n$, они очень быстро "доказали" непрерывность отображения "набор коэффициентов $\mapsto$ набор корней", $\mathbb{C}^n \to X_n$. На самом деле, рассматривая последовательность многочленов $(z+1/n)(z+i)$, легко видеть, что это отображение не является непрерывным.

Подозреваю, что статью Naulin и Pabst можно подправить, рассматривая набор корней многочлена как элемент пространства $Y_n$, где $Y_n$ получается из $\mathbb{C}^n$ отождествлением наборов, отличающихся только порядком следования элементов. На $Y_n$ придётся рассматривать следующую метрику:

$$d([\{z_k\}_{k=1}^n], [\{w_k\}_{k=1}^n]) := \min_{\pi\in S_n} \max_{1\le k\le n}|z_k-w_{\pi(k)}|.$$

Здесь $S_n$ - множество всех перестановок $n$-го порядка, $[a]$ - класс эквивалентности $a$.

[Хорхе]

Бред был о том, что если бы это множество было непрерывно, то существовало бы непрерывное числовое представление лексикографического порядка, а у него даже простого числового представления нет.

Это только отчасти бред: для существования непрерывного числового представления мало непрерывности такого множества, нужно еще существование счетного плотного по порядку подмножества.

[Егор]

Хорхе писал(а):

... а у него даже простого числового представления нет.

В каких книжках или других источниках обсуждаются эти темы и термины? (Числовое представление, непрерывное числовое представление, плотное по порядку подмножество.)

[Хорхе]

Числовое представление - это функция $U:X\to \mathbb R$ такая, что
$x\prec y \iff U(x)<U(y)$. Оно непрерывно, если это непрерывная функция
Плотное по порядку подмножество $Z$ -- это если для $x\prec y$ найдется $z\in Z: x\preceq z\preceq y$. Где-то так.

Насчет где почитать... Фон Нейман и Могенштерн "Теория игр" (1947). Ну и наверное в очень многих книгах по теории игр это есть.

[Егор]

Хорхе, спасибо за объяснения терминов!