Халмош "Теория меры"

[ДДмитрий]

Народ, подскажите, а то что-то туплю.

В книге Халмоша "Теория меры" написано (стр. 44)

Пусть $X = \mathbb Q \cap [0,1]$, $P$ -- класс полуинтервалов $[a,b)$, где $0\leq a \leq b \leq 1$, $a,b\in \mathbb Q$. На $P$ определена функция $\mu ([a,b)) = b - a$.

Далее написано, что $\mu$ -- конечно-аддитивная, но не счетно-аддитивная функция.

Подскажите, с чего бы это $\mu$ -- не счетно-аддитивная функция?

[gris]

Потому, что $a,b$ рациональные числа. $\mu$ может быть попросту не определена на счётной сумме интервалов.

[ДДмитрий]

gris писал(а):

Потому, что $a,b$ рациональные числа. $\mu$ может быть попросту не определена на счётной сумме интервалов.

Нет. Я тоже об этом подумал, но в определении (стр. 34) четко написано, что под счетной-аддитивностью понимается ситуация, когда равенство $\mu(\sqcup A_k) = \sum \mu (A_k)$ проверяется только для дизъюнктной системы $A_k\in E$, объединение которой $\sqcup A_k$ также обязательно лежит в классе $E$.

[Хорхе]

Соображения:
Возьмите ряд из рациональных чисел с суммой $\sum_{n=1}^\infty r_n<1$.
Занумеруйте рациональные числа: $\{x_n,n\ge 1\}$.
$X = \bigcup_n [x_n,(x_n+r_n)\wedge 1)$.
Где-то тут скрывается противоречие.


Можно даже подобрать r_n по x_n так, чтобы получившиеся полуинтервалы не пересекались.

[ДДмитрий]

2 Хорхе

Спасибо. Действительно, тупил.