Интеграл Стильтеса

[VivaKalman]

Ох уже не помню сколько времени убил на решение этой задачи, все таки решил и все равно не так! вобщем задача такая: посчитать интеграл Стильтеса - $\int _{0}^{1}\! \left( \sinh \left( x-1/2 \right) \right) ^{2009}{dg(x)}$.
Ну как обычно: Канторова лестница: непрерывная монотонная функция постоянная на каждом интервале дополнения канторова множества.
На интервале длины 1/3^n принимает значение кратное 0.5 в соответствии с рисунком.

Единственным вариантом решения, как мне показалось - было разложение \sinh (x-1/2) в сумму (через произведение скобок по формуле бинома). Собсно получилось следующее:
$ \sum _{k=1}^{n}{\frac {n!\, \left( -1 \right) ^{n+k}{{\rm e}^{x \left( 2\,k-n \right) }}}{k!\, \left( n-k \right) !\,{2}^{n}}}$
Далее, ипользовав выкладку в задачнике Киролова: $\int _{0}^{1}\!{{\rm e}^{ax}}{dx}={{\rm e}^{1/2\,a}}\prod _{k=1}^{\infty }\cosh \left( {\frac {a}{{3}^{k}}} \right)$ получил ответ:
Интеграл равен $\displaystyle 2009!/2^{2009} \sum _{k=0}^{2009} \left( \left( -1 \right) ^{1+k}\prod _{t=1}^{\infty }\cosh \left( {\frac { 2.0\,k-2009}{{3}^{t}}} \right) \left( k!\\ \mbox{} \right) ^{-1} \left( \left( 2009-k \right) ! \right) ^{-1} \right)$
Логично, что эта сумма должна давать 0, это видно из графика sinh(x-1/2). т е площадь фигурки ниже оси и выше оси равны, а значит и интеграл равен 0 хоть Стильтеса хоть обычный по иксу. Но. Очевидно, что эта формула выдаст погрешность, хотябы потому что там присутсвтует бесконечность. Получилось гдето 2/5171...*10^{-170} Преподаватель проверявший это задание , сказал, что оно решено в лоб и не стал бы так издеваться... Мол то, что этот интеграл равен 0 (голому) доказывается в две строчки. Может быть кто знает как это можно сделать? Был бы премного благодарен.

[AD]

Ну я предлагаю доказать, что $\int_0^{1/2}=-\int_{1/2}^1$.

[ewert]

Естественно, надо сделать замену $x-{1\over2}=t$ и воспользоваться нечётностью как синуса, так и функции $h(t)=g(t+{1\over2})-{1\over2}.$

[VivaKalman]

AD Ну да, мне так и сказал преподаватель. Но проблема в том, что выкладка в Кирилове спраедлива только в промежутке [0.1]. Значит должен быть какой-то альтернативный и более простой способ
это расчитать...
ewert спасибо попробую.