Волновое уравнение

[Руст]

Будет ли уравнение:

$$\frac{dy}{dt}+\frac{dz}{dx}=0, \frac{dz}{dt}+\frac{dy}{dx}=a\frac{d^pd^qz}{dt^pdx^q}.$$

волновым при $p+q\le 1?$
Здесь в последнем уравнении дробные производные. Извините, что не научился, как писать частные производные. Под волновым я понимаю гиперболическое по t уравнение (разрешима задача Коши) решение которой разлагается в суперпозицию (интеграл) от простых волн типа:
$exp(ikx+w(k)t)$.
И это нисколько задача от меня, сколько я хочу консультироваться у знающих. Есть ли литература по такого рода (волновым) уравнениям?

[shwedka]

Первое впечатление.
Вопрос небанальный. Формально, все хорошо, кроме, в прочем, случая
P+q=1
где результат может зависеть от значения параметра a.
Oднако по существу все осложняется необходимстью определения, что имеется в виду под дробной прооизводной. Здесь сучествует несколько конкурирующих способов такие производные определить и, прежде, чем влезать в вопрос всерьез, надо с Рустом договориться, что ОН
имеет в виду.
Частные производные в ТЕХе пишутся
\partial

[Руст]

Я знаю только один вид дробных производных, введённых ещё Абелем:

$$\frac{d^pf}{dt^p}=\frac{1}{G(1-p)}\int_0^t \frac{f'(y)}{(t-y)^p}dy. $$

Здесь G(P) гамма функция (так же не смог изобразить).

[Руст]

Вообще то нижний предел в интеграле надо заменить на - бесконечность (с 0 начинают когда заранее известно, что функция тождественно ноль при отрицательных значениях аргумента). Я здесь написал для случая 0<p<1, в принципе меня интересует только такие случаи.

[shwedka]

Руст писал(а):

Вообще то нижний предел в интеграле надо заменить на - бесконечность (с 0 начинают когда заранее известно, что функция тождественно ноль при отрицательных значениях аргумента). Я здесь написал для случая 0<p<1, в принципе меня интересует только такие случаи.

Вот, в этом-то все и дело. Как только заменим предел на бесконечность, интеграл от вашей бегущей волны бодренько разойдется. А не заменим, тогда определение скиснет при отрицательных x, и, что совсем плохо, для отриоцательных t.
Так что подумайте, какое определение Вам нужно, исходя из Вашей задачи.

Я привыкла рассматривать дробные производные через псевдодифференциальные операторы, т.е, через Фурье.
Точнее, так как
$u'_x=F^{-1}_{\xi\to x}\xi F_{x\to \xi} u$
(F- преобразование Фурье),
то естественно задать
$\partial^p_x u(x)= F^{-1}_{\xi\to x}\xi^p F_{x\to \xi} u$

Естественно-то естественно, но каск задать степень $\xi^p$ при отрицательных $\xi$??
Вот выбрав ветвь, определимся с конкретизацией оператора.
Даже можно так согласованно выбрать ветви $\xi^p$ при отрицательных $\xi$, что пройзводные разных порядков будут хорошо согласованы.

Неприятность в том, что волновое уравнение оказывается тогда комплекс ным, но с этим можно справирься. Все же у Вас есть приличный главный член.

Конечно, Вы придеретесь, и правильно сделаете, что осцилирующую экспоненту нельзя фурьить, интеграл опять разойдется.
Но такое возражение было бы действительно лет 70 назад.. Теперь же народ применяет Фурье в смысле распределений, и все прекрасно получается.
При Вашем же определении, с расходимостями будет постоянная мигрень.

Повторяю, чем начала. определитесь с заданием производной,
но от Вашего ничего хорошего не ждите.
Гамма в ТЕХе пишется \Gamma и далее по аналогии

[Руст]

Я так же понимаю это как псевдодифференциальные операторы. Однако, учитывая, что по t (времени) имея гиперболисность (физический причинно следственность) можно определить через преобразование Лапласа.
Ещё вопрос, при p+q=1 (а небольшое число - определяющее возмущение) будет ли решение таким же как у невозмущённого только с изменённой скоростью:

$$\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial x}=0, \frac{\partial z}{\partial t}+c^2\frac{\partial y}{\partial x}=0.$$

[shwedka]

1. Через Лапласа не рекомендую. У вас же не равно решение нулю при отрицательных t! A А Лаплас только для таких работает.

Цитата:

будет ли решение таким же как у невозмущённого только с изменённой скоростью:

2.Не исключено. Но только если дробные производные по х и по т определять согласованно, так что 'комплексный множитель' уберется.
Но все же нужно посчитать.
Подставвьте в систему Вашу экспоненту и примените уравнение формально.
Все же я боюсь, что у Вас будут не бегущие волны, а затухающие или растущие, закона сохранения энергии не ждите.
Плюс (уж все неприятности сразу)
подозреваю я, что поведение волн идущих направо и налево будет разное!!!

[Руст]

Я подозреваю, что при p+q=1 решение имеет вид:
$f_1(t-x/c)+f_2(t+x/c),f_i=(y_i,z_i)=0,t<0$, а затухание только когда сумма p+q<1. Во всяком случае я хотел бы получить (если это уже не даётся дробными производными) такой псевдодифференциальный оператор возмущения.

[shwedka]

попробуйте подставить. но мой совет, возьмите f не произвольную функцию, а из пространства Харди, функцию, у которой преобразовние Фурье на левой полуоси равно нулю.
Тогда что-то получится. Но я предсказываю, что для f из дополнительного пространтва Харди будет другое движение.

[Руст]

Вообщем разобрался. В том виде дифференцирование по х не можеть появляться в физических уравнениях. Пишу статью "Спектральный подход к динамике сплошных сред". В нескольких словах суть в том, что любое эволюционное уравнение (уравнение определяемое элементом бесконечномерной алгебры Ли) является гиперболическим псевдодифференциальным уравнением (вообще говоря нелинейным) коммутирующим с группой Галилея (для классической механики). Псевдодифференциальность получается из-за наличия сдвигов в группе Галилея (по пространственным и временной координате) . Так как в группе Галилея ещё имеется пространственная инверсия I (отображение х на -х), то переменные разделяются на чётные (коммутирующие с этой операцией компоненты тензоров чётного ранга)) и нечётные (антикоммутирующие компоненты тензоров нечётного порядка - типа скоростей, импульсов. ускорений и сил). Соответственно и сами уравнения должны сохранять чётность, т.е. возмущения уравнений так же. В том виде это не сохраняется. Соответственно в данном случае оно должно было иметь вид:

$$a\frac{\partial^p }{\partial t^p}(sign {\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial^2}{\partial x^2})^{q/2},$$

смысл sign понятен. По временной координате из-за гиперболичности (однонаправленности) таких трудностей не возникает.

[shwedka]

$$a\frac{\partial^p }{\partial t^p}(sign {\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial^2}{\partial x^2})^{q/2},$$

Ножно, конечно, и так. Неприятность в том, что так определенные
степени оператора дифференцирования не образуют полугруппу по q.
И еще, четность/нечетность при изменении знака х не решается постановкой $$(sign {\frac{\partial}{\partial x})
Здесь существенны пространства Харди.

Вспомните, Фурье не коммутирует с отражением!!

Я бы, если бы судьба заставила такое писать, от такого поморщилась.
В общем, если есть настроение, пришлите текст по мылу мне, когда готов будет,
я посмотрю с точки зрения псевдодифференциальной науки и прочего ортодоксального анализа.
Я, правда, до конца апреля в отъезде.

[Руст]

Хорошо. Только я не знаю вашего e-maila. Мой [e-mail] (рабочий МГУ шный даже не помню наизусть).

[shwedka]

Послала адрес в личное сообщение

[Руст]

Совсем запутал со знаком, который можно записать в виде:

$$\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial ^2}{\partial x^2})^{-1/2}.$$

Такой член понадобился бы, если бы я применял оператор к чётной переменной y. Я его применяю в нечётном уравнении к нечётной переменной, поэтому оператор должен быть чётным, т.е. по пространственным переменным лапласиан в степени q/2.
Этот член является динамической поправкой к закону Гука и объясняет разные эффекты - вязкоупругость, релаксационные свойства, ползучести и т.д., и хорошо согласуется с экспериментом. Именно в таком виде я использовал при расчётах резонансов в фильтрации. Без этого члена один из основных параметров коэффициенты затухания основной волны оказалась в миллион раз меньше экспериментальных значений, что сильно завышала резонансы.

[shwedka]

Эот знак является знаком в sмысле спектральной теории, иначе говоря, в частотной области.
Поясняю,
$T e^{ikx} = i e^{ikx}, \; k>0, =-ie^{ikx}, k<0$
T Ваш оператор 'знак производной'

Устраивает??
Это все то, что я уже который раз объясняю. Пространства Харди.
Напишите, чему, Вы хотите, должна быть равна дробная производная от синуса, от косинуса/