Максимальная ширина лестницы, кот. можно пронести по коридор

[haperah]

Нужно найти максимальную длину лестницы которую нужно перенести горизонтально из коридора шириной 4 метра в коридор шириной 3 метра.Угол между коридорами равен 90 градусов.

[gris]

Ширину лестницы принимаем равной нулю?
Тогда задача сводится к отысканию минимального отрезка, проходящего через выступающий угол коридора, концы которого упираются в противоположную стену (стены под углом)

[haperah]

про ширину в задаче ничего не сказано.Тоесть вы имеете ввиду длина лестницы это получается гипотенуза прямоугольного треугольника?

[VAL]

haperah писал(а):

Нужно найти максимальную длину лестницы которую нужно перенести горизонтально из коридора шириной 4 метра в коридор шириной 3 метра.Угол между коридорами равен 90 градусов.

Выберите систему координат с началом в выступе на стыке коридоров. Рассмотрите пучок прямых $y=kx$, найдите длину отрезка, высекаемого на прямой пучка прямыми $x=-4$ и $y=3$, как функцию от k и исследуйте ее на экстремумы.

PS: У задачки есть и чисто геометрическое решение. Но его легко получить, когда ответ уже известен

[gris]

Можно рассмотреть отрезок как две гипотенузы двух подобных треугольничков. С у одного один из катетов 3, а у другого 4. Можно рассмотреть как функцию угла.

[haperah]

VAL писал(а):

haperah писал(а):

Нужно найти максимальную длину лестницы которую нужно перенести горизонтально из коридора шириной 4 метра в коридор шириной 3 метра.Угол между коридорами равен 90 градусов.

Выберите систему координат с началом в выступе на стыке коридоров. Рассмотрите пучок прямых $y=kx$, найдите длину отрезка, высекаемого на прямой пучка прямыми $x=-4$ и $y=3$, как функцию от k и исследуйте ее на экстремумы.

PS: У задачки есть и чисто геометрическое решение. Но его легко получить, когда ответ уже известен

Вы не могли бы чуть поподробнее обьяснить,а то я не совсем уловил мысль

[VAL]

haperah писал(а):

VAL писал(а):

Выберите систему координат с началом в выступе на стыке коридоров. Рассмотрите пучок прямых $y=kx$, найдите длину отрезка, высекаемого на прямой пучка прямыми $x=-4$ и $y=3$, как функцию от k и исследуйте ее на экстремумы.

Вы не могли бы чуть поподробнее обьяснить,а то я не совсем уловил мысль

Подробнее уже не подсказка, а решение будет. А это правилами запрещено.
Можете решать, как gris советует. Ответы, удивительным образом, совпадают!
А вот насчет чисто геометрического решения, я, пожалуй, погорячился.

[gris]

VAL, а я вдохновлённый Вашей идеей придумал ещё одну интерпретацию. Надо найти наименьший отрезок, заключённый в первой четверти, для пучка прямых, проходящих через точку (3;4). В общем, то же самое, конечно.

[AD]

gris в сообщении #201288 писал(а):

Тогда задача сводится к отысканию минимального отрезка, проходящего через выступающий угол коридора

Вообще, мне было бы интереснее это доказать.

Кстати, если кто не в курсе - задача протаскивания дивана по коридору - до сих пор не решена, и фигурирует в википедии как проблема дивана. (Там нужно максимизировать площадь дивана - произвольной плоской фигуры, пролезающей по такому коридору).

[ewert]

А я бы исходил немножко из другого. Уравнение лестницы длины $l$, прислонённой под углом $\varphi$:

$${x\over l\,\cos\varphi}+{y\over l\,\sin\varphi}=1.$$

Лестница не заденет выступ тогда и только тогда, когда при всех $\varphi$ выполняется неравенство:

$${3\over \cos\varphi}+{4\over \sin\varphi}\geqslant l.$$

Т.е. длина равна минимуму левой части. Т.е.

$$\left(3^{2/3}+4^{2/3}\right)^{3/2}$$

.

[gris]

Так в этом и проблема - как найти минимум

$${3\over\cos\varphi}+{4\over \sin\varphi}$$

Просто продифференцировать и приравнять к 0?

Получится $\tg^3 \varphi= 4/3$ или можно попроще?

Ну вот, последняя надежда рухнула... Вместе с лестницей.

[ewert]

Судя по ответу -- существенно проще вряд ли.

Кстати, ответ означает, что лестница зачерчивает при своём движении внутренность астроиды. Что само по себе вовсе не очевидно.

[vvvv]

Почему не очевидно?
Каждая точка лестниц при своем перемещении описывает эллипс, а огибающая
этих эллипсов и будет астроида