Решить уравнение методом Галеркина

[oleg_galtsev]

Помогите решить такое уравнение$\Delta u = f(r,\alpha)$, u представляется как:
$u=\sum{c\varphi(r,\alpha)}$, c - константа.
Граничные условия(в круг): $u|_{s=0}=0$, $u|_0 \neq 0$, $\alpha$ - угол,$r$ - радиус круга. Необходимо найти $r$ и $\alpha$

[Zai]

Можно ли Вашу задачу внутри круга переписать в следующем виде:
$\Delta u = f(r,\alpha)$
$u|_{r=R}=\psi(\alpha)
Если нет, то в чем ее отличие от приведенной классической задачи для уравнения Пуасссона?

[oleg_galtsev]

Да. Можно

Добавлено спустя 2 минуты 56 секунд:

Или подскажите литературу, где угол и радиус в элиптическом уравнении Пуасона выводятся.

[Zai]

Посмотрите метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона.
Для уравнения Лапласа решение в рядах имеет вид:
$\Delta u =0$
$u|_{r=R}=\psi(\alpha)
$u(r,\alpha )=C+\sum\limits_{n=1}^\infty r^n (A_n \cos n \alpha +B_n \sin n \alpha)
$A_n= \frac 1 {\pi} \int\limits_{- \pi}^{\pi} \psi(\alpha) \cos n \alpha ~d \alpha
$C= \frac 2 {\pi} \int\limits_{- \pi}^{\pi} \psi(\alpha) ~d \alpha
$B_n= \frac 1 {\pi} \int\limits_{- \pi}^{\pi} \psi(\alpha) \sin n \alpha ~d \alpha

[oleg_galtsev]

И еще вопрос...Вам известен метод Галеркина для решения систем уравнений? И может ли приведенное вами решение являться базисной для данного метода.

[Zai]

В методе Галеркина используются разложение решения по конечному числу неортогональных функций, что приводит к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. В методе разделения переменных функции ортогональны, а коэффициенты разложения выражаются явно.

[GAA]

oleg_galtsev писал(а):

Помогите решить такое уравнение$\Delta u = f(r,\alpha)$, u представляется как:
$u=\sum{c\varphi(r,\alpha)}$, c - константа.
Граничные условия(в круг): $u|_{s=0}=0$, $u|_0 \neq 0$, $\alpha$ - угол,$r$ - радиус круга. Необходимо найти $r$ и $\alpha$

oleg_galtsev, Вы крайне плохо формулируете вопрос. Возможно, Вы говорите о такой задаче.
Найти функцию $u$, которая:
1) определена и непрерывна в замкнутой области $\Omega + S: x^2+y^2 \le R^2$, где $S$ — граница области $\Omega$, т.е. ($x^2+y^2=R^2$) ;
2) удовлетворяет внутри области $\Omega$ уравнению $\Delta u = -f(чx, y)$;
3) принимает на границе заданное значение 0, т.е. удовлетворяет граничному условию $u|_S =0$.
Кроме того, Вас интересует (приближенное) решение этой задачи именно методом Галеркина.

Посмотрите [1] на предмет формулировок задач для уравнений второго порядка эллиптического типа. О методе Галеркина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа совсем кратко написано в [2, гл. 10, §9, n.5]. Там же дается ссылка на монографию [3], где исследуется сходимость метода.

ref.
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977 (djvu).
2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том 2. — М.: Физматлит, 1959 (djvu)
3. Михлин С.Г. Прямые методы в мате6матической физике, 1950. (В Интернете эту книгу не нашел. Однако она, скорее всего, есть в ближайшей к Вам научной библиотеке. В гл. 5 излагается теория метода Галеркина, приведено два частных примера. Но эти частные примеры довольно далеки от интересующего Вас.)

[mod]oleg_galtsev
В своём последнем (третьем) сообщении этой темы приведите точную формулировку подлежащей решению задачи. После этого пишите в тему Сообщение в карантине исправлено запрос на возвращение.[/mod]