Мощность множества последовательностей

[Профессор Снэйп]

Пусть $A$ --- некоторое множество последовательностей. И пусть известно, что для произвольной (не обязательно принадлежащей $A$) последовательности $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ найдётся последовательность $\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ из $A$, такая что $\lim_{n \to \infty} x_n/y_n = 0$.

Довольно просто показать, что при таких условиях $A$ несчётно. А вот можно ли доказать, что $A$ континуально, не привлекая континуум-гипотезу? У меня пока не получается. Впрочем, построить контрпример тоже не получается.

[Someone]

Это утверждение не зависит от аксиом теории множеств. Оно Вам для чего-то нужно, или просто любопытный вопрос в голову пришёл?

Вот сочинил сейчас доказательство.

Рассмотрим множество действительных чисел $\mathbb R$ и его подмножество $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$. Окрестностями множества $\mathbb N$ будем называть произвольные открытые подмножества $\mathbb R$, содержащие $\mathbb N$. Базой окрестностей множества $\mathbb N$ называется такое семейство $\mathcal B$ окрестностей множества $\mathbb N$, что для каждой окрестности $U\subseteq\mathbb R$ множества $\mathbb N$ найдётся окрестность $V\in\mathcal B$, содержащаяся в $U$. Характером множества $\mathbb N$ в $\mathbb R$, называется наименьшая мощность баз окрестностей множества $\mathbb N$.

Легко показать, что этот характер несчётен. Очевидно, что в предположении справедливости континуум-гипотезы этот характер равен континууму. То же самое можно доказать, если справедлива аксиома Мартина. Однако Хехлер построил модель теории множеств, в которой этот характер меньше континуума:

Hechler S. H., Independence results concerning a problem of N. Lusin. Math. System Theory, 1970, 4, № 4, 316—322.

Теперь посмотрим, как это всё связано с Вашей задачей.
Если $U\subseteq\mathbb R$ - окрестность множества $\mathbb N$, не совпадающая с $\mathbb R$, то определим последовательность

$$\beta_U=\left\{\frac n{\min\{|x-n|:x\in\marhbb R\setminus U\}}:n\in\mathbb N\right\}\text{.}$$

Наоборот, если задана последовательность $\beta=\{\beta_n:n\in\mathbb N\}$, то определим окрестность множества $\mathbb N$, положив

$$U_{\beta}=\bigcup\left\{\left\{x\in\mathbb R:|x-n|<\frac 1{|\beta_n|+1}\right\}:n\in\mathbb N\right\}\text{.}$$

Пусть $A$ - семейство последовательностей, удовлетворяющее Вашему условию. Для каждого $m\in\mathbb N$ пусть $U_m=\left\{x\in\mathbb R:\min\{|x-n|:n\in\mathbb N\}<\frac 1m\right\}$. Положим $\mathcal B_A=\{U_{\alpha}\cap U_m:\alpha\in A,m\in\mathbb N\}$. Ясно, что $|\mathcal B_A|=|A|$. Покажем, что $\mathcal B_A$ - база окрестностей множества $\mathbb N$.
В самом деле, если $U\subseteq\mathbb R$ - любая окрестность множества $\mathbb N$, то построим по ней последовательность $\gamma=\beta_U$. По определению $A$, найдётся такая последовательность $\alpha\in A$, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\gamma_n}{\alpha_n}=0$. По определению предела, существует такое $n_0\in\mathbb N$, что для всех $n>n_0$ выполняется неравенство $\frac{\gamma_n}{\alpha_n}<1$, то есть, ${\gamma_n}<{\alpha_n}$. Обозначим $\delta=\min\{|x-n|:x\in\mathbb R\setminus U,1\leqslant n\leqslant n_0\}$, и пусть $m$ - натуральное число, удовлетворяющее неравенству $\frac 1m<\delta$. Тогда $V=U_{\alpha}\cap U_m\in\mathcal B_A$ и $\mathbb N\subset V\subseteq U$, то есть, $\mathcal B$ - база окрестностей множества $\mathbb N$.

Наоборот, пусть $\mathcal B$ - база окрестностей множества $\mathbb N$. Можно считать, что ни одна из этих окрестностей не совпадает со всем $\mathbb R$. Определим $A_{\mathcal B}=\{\beta_U:U\in\mathcal B\}$. Ясно, что $|A_{\mathcal B}|=|\mathcal B|$. Покажем, что семейство $A_{\mathcal B}$ удовлетворяет Вашему условию.
Пусть $$\beta=\{\beta_n:n\in\mathbb N\}$ - любая последовательность. Построим по ней окрестность $U_{\beta}$ множества $\mathbb N$. Существует окрестность $V\in\mathbb B$, удовлетворяющая условию $V\subseteq U_{\beta}$. Тогда для последовательности $\alpha=\beta_V$ при всех $n\in\mathbb N$ выполняется неравенство $\frac{|\beta_n|+1}{\alpha_n}\leqslant\frac 1n$, откуда следует, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\beta_n}{\alpha_n}=0$.

Таким образом, минимальная мощность семейства последовательностей, удовлетворяющего Вашему условию, равна характеру множества $\mathbb N$ в $\mathbb R$. Как выше было сказано, этот характер несчётен, но не обязательно равен континууму.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Оно Вам для чего-то нужно, или просто любопытный вопрос в голову пришёл?

Просто любопытный вопрос в голову пришёл

На прошлой неделе давал студентам на дом задачу из задачника Лаврова и Максимовой. В задаче требуется доказать, что каждое такое $A$ несчётно (задача номер 1.4.43). Ну а я по ходу начал думать, можно ли про $|A|$ сказать что-то большее.

Оказалось, что этот вопрос отнюдь не прост. За информацию спасибо! Про характеры и статью Хечлера (или Хеклера?) не знал.

[Dandan]

Небольшое замечание.
У вас $\beta_{U_\beta} \not = \beta$. Из-за этого немного сложнее воспринимать объяснение. А ведь можно обозначить

Цитата:

Если $U\subseteq\mathbb R$ - окрестность множества $\mathbb N$, не совпадающая с $\mathbb R$, то определим последовательность

$$\beta_U=\left\{\frac 1{\min\{|x-n|:x\in\marhbb R\setminus U\}}:n\in\mathbb N\right\}\text{.}$$

Наоборот, если задана последовательность $\beta=\{\beta_n:n\in\mathbb N\}$, то определим окрестность множества $\mathbb N$, положив

$$U_{\beta}=\bigcup\left\{\left\{x\in\mathbb R:|x-n|<\frac 1{|\beta_n|}\right\}:n\in\mathbb N\right\}\text{.}$$

и провести подобные выкладки.

[маткиб]

Интересная задачка. А является ли независимым утверждение о том, что этот характер равен $\aleph_1$?

[Someone]

Является. Если верна континуум-гипотеза, то характер равен $\aleph_1$ (это тривиально). Если верна аксиома Мартина плюс отрицание континуум-гипотезы, то характер равен $2^{\aleph_0}>\aleph_1$ (В.И.Малыхин, Б.Э.Шапировский. Аксиома Мартина и свойства топологических пространств. Докл. АН СССР, 1973, 213, № 3, 532 -535).

Аксиома Мартина слабее континуум-гипотезы и имеет много приятных следствий. Например, если верна аксиома Мартина, то объединение менее чем континуума множеств нулевой меры Лебега имеет нулевую меру; объединение менее чем континуума множеств первой категории есть множество первой категории.

Профессор Снэйп в сообщении #200459 писал(а):

Про характеры и статью Хечлера (или Хеклера?) не знал.

Ну, как я понимаю, общая топология достаточно далека от Ваших интересов. Что касается Хехлера - Хечлера - Хеклера, то кто его знает, как его правильно по-русски писать. Я взял написание из старого обзора по общей топологии в сборнике

Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Том 13. Москва, 1975.

Там написано "Хехлер", я так и написал. Когда мне сказали, что фамилия Vaughan по-русски пишется "Вон", я был сильно удивлён.

Dandan в сообщении #200460 писал(а):

У вас $\beta_{U_\beta} \not = \beta$. Из-за этого немного сложнее воспринимать объяснение. А ведь можно обозначить

Флаг Вам в руки. Я сначала так и обозначил. Вылезли некоторые заморочки. Мне не захотелось с ними возиться, и я сделал так, как Вы видите. Может быть, у Вас получится лучше.