Определенный интеграл дифф. Бинома

[e7e5]

Вычислить
$\int\limits_{0}^1 x^p(1-x)^q dx$, p, q - натуральные.
Видно нужно сделать подстановку...

[vlad239]

По частям его много раз, наращивая степень $x$ и уменьшая степень $1-x$

Влад.

[Imperator]

Либо можно подстановки Чебышева попробовать.

[AD]

Так это ж бета-функция.

$$\int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=B(x,y)$$

[e7e5]

AD писал(а):

Так это ж бета-функция.

$$\int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=B(x,y)$$

Понял, это условное обозначение. Тогда интегрируя по частям

$B(x,y)=\frac{y-1} {x} B(x, y-1) - \frac{y-1} {x} B(x,y)$
Так что
$B(x,y)=\frac{y-1} {x+y-1} B(x, y-1)$
Осталось только найти значение при целых $x$ и $y$

[MaхVT]

Ответ примерно такой $\frac{p!}{(q+1)\ldots(q+p+1)}$

[Imperator]

$\frac{p!\cdot q!}{(p+q+1)!}$

[e7e5]

MaхVT писал(а):

Ответ примерно такой $\frac{p!}{(q+1)\ldots(q+p+1)}$

Чего то у меня не сошлось.
На бумажке получается в исходных обозначениях задачи
$\frac{q!p!}{(q+p+1)!}$

[MaхVT]

А разница?

[e7e5]

$\frac{p!}{(q+1)\ldots(q+p+1)}$ и
$\frac{q!p!}{(q+p+1)!}$

$\frac{p!q!}{q!(q+1)\ldots(q+p+1)}$,

$\frac{p!q!}{1\ldots q *(q+1)\ldots(q+p+1)}$,
ну да, разность равна нулю, т.е нет разницы.

Добавлено спустя 23 минуты 4 секунды:

Спасибо всем!