Несобственный интеграл x^3 /(exp(x)-1), x=0..infty

[MeSSeR]

$$\int\limits_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx$$

в пределах от нуля до бесконечности.
Все перепробовал, но даже не знаю, как к нему подступиться...

[RIP]

Можно разложить $(e^x-1)^{-1}$ в ряд по степеням $e^{-x}$ и проинтегрировать почленно (или сразу воспользоваться формулой $\Gamma(s)\zeta(s)=\int_0^\infty\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1}$, $\mathop{\mathrm{Re}}s>1$, которая ровно так и доказывается).

[Imperator]

$\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{e^{2\pi x}-1} dx=\frac{1}{4n}|B_{2n}|,$ где $n=1,2,...,$ а $B_{2n}$ -- число Я. Бернулли.

В Вашем случае $n=2$ и
$\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^{2\pi x}-1}dx=[x=\frac{t}{2\pi}]=\frac{1}{(2\pi)^4} \int_{0}^{\infty}\frac{t^3}{e^t-1} dt=\frac{1}{16\pi^4}\cdot I=\frac{1}{8}|B_4|,$ откуда

$I=\frac{16\pi^4}{8}|-\frac{1}{30}|=\frac{\pi^4}{15}.$

[Полосин]

$$ I=\int_0^{+\infty}\frac{x^3dx}{e^x-1}=(t=e^{-x})=\int_0^1\frac{\ln^3tdt}{t-1}=\frac{f^{(3)}(0)}{2}, $$

$$ f(p)=\int_0^1\frac{t^{-p}-t^p}{1-t}dt=\lim\limits_{s\rightarrow+0}f_s(p), $$

$$ f_s(p)=\int_0^1\frac{t^{-p}-t^p}{(1-t)^{1-s}}dt=B(1+p,s)-B(1-p,s)= $$

$$ =\Gamma(s)\frac{\Gamma(1+p)(\Gamma(1-p+s)-\Gamma(1-p))-\Gamma(1-p)(\Gamma(1+p+s)-\Gamma(1+p))}{\Gamma(1+p+s)\Gamma(1-p+s)}, $$

$$ f(p)=\frac{\Gamma(1+p)\Gamma'(1-p)-\Gamma(1-p)\Gamma'(1+p)}{\Gamma(1+p)\Gamma(1-p)}=-\frac{d}{dp}\ln\Gamma(1-p)\Gamma(1+p)=-\frac{d}{dp}\ln\frac{\pi p}{\sin(\pi p)}=\pi\ctg(\pi p)-\frac1p, $$

$$ x\ctg x=(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+...)(1+\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+\frac{x^4}{36}+...)=1-\frac{x^2}{3}+\frac{x^4}{45}+... $$

$$ f(p)=-\frac{\pi^2 p}{3}+\frac{\pi^4p^3}{45}+..., I=\frac{\pi^4}{15}. $$