Найти параметры эллипса по уравнению

[nbyte]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста понять как нужно решать такие задачи
Например
Дана формула эллипса
$4x^2+3y^2-8x+12y-32=0$
Нужно найти фокусы и уравнение директрисы.
Что нужно делать?

[ewert]

Привести уравнение к каноническому виду

$${\widetilde x^2\over a^2}+{\widetilde y^2\over b^2}=1,$$

выделив полные квадраты по каждой из переменных и сделав соответствующую замену. Найти искомое по стандартным формулам. После чего вернуться к новым переменным.

[nbyte]

А можно-ли узнать по одной только формуле, что это например эллипс?
Ато я точно незнаю как на контрольной будет задача сформулирована и думаю придётся-ли мне определять.
Тоесть тут когда нужно вводить новые переменные, то нужно как я понял сделать так $x'=y+2$ $y'=x-1$ тоесть поменять местами.

Добавлено спустя 6 минут 1 секунду:

Цитата:

После чего вернуться к новым переменным.

Тут мне неособо понятно как
Если я сделал замену $x'=y+2$ $y'=x-1$
Нашол $F_1(-2;0)$ $F_2(2;0)$
То как сделать обратно замену и найти $F_1$ и $F_2$ ?

[vlad239]

Почитайте тут

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1% ... 0%BA%D0%B0

Вот нашли Вы фокус, его координаты $x'=-2,y'=0$. Кроме того, замена у Вас была $x'=y+2, y'=x-1$. Как Вы думаете, какие $(x,y)$-координаты у этого фокуса?

Влад.

[ewert]

nbyte в сообщении #199930 писал(а):

А можно-ли узнать по одной только формуле, что это например эллипс?

Естественно. Это определяется знаками перед квадратами: если одинаковы, то это эллипс, разные -- гипербола, если один из квадратов отсутствует -- то парабола.

Конечно, если уравнение не вырожденно и если отсутствует слагаемое $xy$. Но на контрольной вам подобного рода неприятности, по-видимому, не грозят.

[nbyte]

Получил $F_1(1;-4)$ $F_2(1;0)$.
Расстояние между фокусами 4. $c=2$
$e=\dfrac{2}{\sqrt(16)}=0,5$
$d=\dfrac{2a}{e} = \dfrac{2*4}{0,5} = 16$

А как найти уравнение директрисы?

[ewert]

Посмотреть в книжке формулу.

Но не обязательно. По определению, для каждой точке на кривой отношение расстояний до фокуса и до директрисы постоянно; из симметрии задачи следует, что директрис будет две, и каждая расположена перпендикулярно большой оси (в Вашем случае -- горизонтально). Ну так просто выпишите равенство этих отношений для каких-либо двух точек на эллипсе -- очевидно, разумнее всего брать вертикально расположенные вершины -- и получите уравнение для вертикального смещения директрисы относительно самого эллипса.

[nbyte]

Теперь понял.
$d=\pm \dfrac{a}{e}$ $\pm 8$

Добавлено спустя 25 секунд:

Спасибо за помощь.