Интеграл от предела

[Aks1]

Можно ли аналитически посчитать вот такое выражение:

$$\int_{m=0}^{1} \lim\limits_{a \to m} \frac{\sqrt{2m^2 - a^2} - a}{2}}$$

Я сам не совсем математик, поэтому в принципе не знаю, можно ли находить интегралы от предела. Или может - тут стоит сделать какие-то преобразования, чтобы свести данное выражение к чему-то более простому.
Заранее спасибо.

[GAA]

Не понял в чем затруднение. Вычислите предел подынтегрального выражения (он легко вычисляется) и затем найдите интеграл.

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

Интеграл лучше записать так

$$\int_{0}^{1} \lim\limits_{a \to m} \frac{\sqrt{2m^2 - a^2} - a}{2}}\, dm$$

[Aks1]

Блин - а я дебил. Надеюсь себя ругать на форуме можно?)))
Ну да - у меня чего-то заклинило, что сумма нулей - ноль, и что вычислять последовательно их нельзя.
Просто проходил все это 5 лет назад.
Спасибо)

[Aks1]

GAA
Так, нет, все же я не понял.
Предел там получается 0. А интеграл от нуля на любом отрезке - тоже 0.
А там-то 1 получается!!!
Может объяснишь по-шагам?

[ewert]

Aks1 в сообщении #199951 писал(а):

Предел там получается 0.

Ну а куда деваться-то. У Вас явно что-то в дроби потеряно -- такого вида пределы естественным путём не возникают. А вот, например, если в знаменатель добавить $(m-a)$, то как раз единичный предел и получится.

[Aks1]

Дело в том, что этот интеграл я проверил численно в экселе.
Взял 1001 число m_i=a_{i-1} (1; 0,999; 0,998 ... 0) и посчитал для каждого из них вот это самое значение под пределом. А потом сложил. Получилось 0,996 - то есть почти единица. То, что там единица, я знаю точно, мне просто нужно понять, почему???

[ewert]

Трудно понять, что Вы имеете в виду, но, судя по всему, что-то вроде:

$$\sum_{i=0}^{1000}{\sqrt{2\left({i\over1000}\right)^2-\left({i-1\over1000}\right)^2}-{i-1\over1000}\over2}.$$

Ну да, там вроде как раз единичка и должна получаться. Только это мало о чём говорит -- Вы ведь забыли домножить на шаг численного интегрирования ${1\over1000}$.

[Aks1]

Именно это! Без шага!
А как это записать в виде интеграла?

[ewert]

Молча -- ровно в том порядке, как написано: сначала взять предел (он будет равен нулю при каждом $m$), а потом взять интеграл от тождественного нуля.

[Aks1]

ewert
но ведь ноль получится!
интеграл - это же обобщение суммы на непрерывное изменение. как обобщить сумму, которую вы написали? Без шага $1\over 1000$. Чтобы интеграл был равен 1.

[ewert]

Ну значить получаеться. Что ж тут поделать, коли медицинский факт.

Вы (как мне кажется) не в ту сторону думаете, пытаясь численно решить задачу, математический смысл которой Вам не вполне понятен. А между тем последовательность действий должна быть именно такой: сперва осознать, в каком порядке действуют формальные записи, участвующие в выражении, а уж потом пытаться их аппроксимировать.

[Aks1]

Задача как бы не имеет математического смысла сама по себе. Его можно определить так или иначе.
Если озвучить словами, то это оценка длины кривой, как большого числа маленьких прямых отрезков.
Мне осталось теперь только перейти от сумму с большим числом к сумме с бесконечным их числом.
Решение, которое мне представили (то есть 1), не было обосновано. И не было для меня очевидно. Поэтому я решил доказать это формально. Такие дела.

[Someone]

Ну так Вы тогда неправильно задачу формулируете. Надо составить сумму и искать от неё предел. А Вы делаете наоборот: ищете предел от слагаемых, который равен нулю, и хотите сложением нулей получить единицу.

Возьмите выражение, которое написал ewert, и немного его преобразуйте, переведя иррациональность в знаменатель путём домножения числителя и знаменателя на подходящее выражение. После простых преобразований выделится множетнль $\frac 1{1000}$. Это и есть шаг.