Последовательности. 9ый класс. Помогите, пожалуйста.

[597400]

Верно ли,что из любой бесконечной последовательности можно выбрать монотонную подпоследовательность?

[PAV]

Строго монотонную - нет. Нестрого - да.

[597400]

а как?
нестрого монотонную?

[gris]

Если последовательность постоянна {1;1;1;1;1...}, то из неё никак строго монотонную не выделишь.
Я бы рассмотрел отдельно случай неограниченной последовательности и ограниченной, которая имеет частичный предел.
Но, наверное, есть более простое решение.

[Brukvalub]

Назовем член последовательности малым, если бесконечное число членов последовательности не меньше его, в противном случае назовем его большим. Ясно, что каждый член последовательности либо мал, либо большой, поэтому она содержит бесконечное число малых членов, либо бесконечное число больших.
Докажите теперь, что если в последовательности есть бесконечное число малых членов, то в ней содержится монотонно неубывающая подпослед-сть, иначе в ней содержится монотонно убывающая подпослед-сть

[PAV]

gris в сообщении #199358 писал(а):

Я бы рассмотрел отдельно случай неограниченной последовательности и ограниченной, которая имеет частичный предел.

Я имел в виду именно такой подход, он и сам совсем простой.

[Cave]

gris писал(а):

Я бы рассмотрел отдельно случай неограниченной последовательности и ограниченной, которая имеет частичный предел.

Зато такое подход существенно использует полносту, тогда как утверждение верно для любого упорядоченного множества.

[gris]

Cave, согласен.
Ну я же оговорился, что есть более простое и более естественное решение

Кстати, студенты-первокурсники-нематематики, которые уже знают пределы, эпсилон-дельту, вложенные отрезки, скорее поймут (примут) доказательство с использованием частичного предела, чем доказательство со словами "назовём число большим" - ведь такого определения нет в лекциях и учебниках!

А вот продвинутые девятиклассники, конечно, обожают такие вещи. "Назовём число синим или волосатым..."

[ewert]

Предположим, что строго убывающей подпоследовательности не существует. Тогда для любого $N$ среди членов последовательности с номерами, большими либо равными $N$, найдётся нестрого минимальный. Последовательность таких нестрогих минимумов и образует неубывающую подпоследовательность.

[gris]

Если не существует строго монотонной подпоследовательности, то последовательность принимает конечное число значений, одно из которых принимается бесконечное число раз.

[ewert]

это, конечно, верно; но почему конкретно?...

[gris]

Это следует из того, что если последовательность принимает бесконечное число значений, то их неё всегда можно выделить строго монотонную последовательность.

[ewert]

Ну, это утверждение ничем особенно не лучше исходного.

[МаSHA]

Если последовательность неограничена, например, сверху, то из нее всегда (очевидным, но нудно описываемым методом) можно выбрать монотонно возрастающую подпоследовательность. Если не понятно - придется все-таки описать. Аналогично снизу. Если посл-ть ограничена, т.е. заключена в некотором интервале (А,В), то она обязательно имеет хотя бы одну предельную точку (теорема из матанализа). Пусть а - предельная точка. Это значит , что существует подпоследовательность исходной последовательности, сходящаяся к а. Рассмотрим 2 случая:
1) В этой подпоследовательности есть бесконечно много членов, равных а. Тогда, составляя из них новую подпоследовательность, будем иметь монотонную (ее можно назвать хоть убывающей, хоть возрастающей) подпоследовательность исходной последовательности (чего и добиваемся).
2) Таких членов конечное число. Удалим их. Тогда останется подпоследовательность исходной последовательности, которая сходится к а, но все члены которой отличны от а. С ней и будем работать, называя ее последовательностью а(1), а(2), .....
Легко доказать следующее утверждение: либо В ЛЮБОЙ левой окрестности (а-е,а) есть бесконечно много членов этой последовательности, либо В ЛЮБОЙ правой окрестности (а,а+е) есть бесконечно много членов этой последовательности (от противного, тогда легко построить обычную двухстороннюю окрестность точки а, в которой нет ни одного члена последовательности, а потому число а не может быть ее пределом).
Без ограничения общности будем считать, что В ЛЮБОЙ левой окрестности (а-е,а) есть бесконечно много членов последовательности а(1), а(2), .... . Тогда будем строить монотонно возрастающую подпоследовательность a(n1), a(n2),....
Рассмотрим левую окрестность (а-1,а). В ней по предположению бесконечно много членов последовательности (отличных от а!). В качестве первого члена a(n1) строящейся подпоследовательности берем любой из них. Далее, рассмотрим левую окрестность (а(n1),a). В ней бесконечно много членов исходной последовательности (не равных а!). Любой из них берем в качестве a(n2). Далее рассматриваем левую окрестность (а(n2),a) и выбираем из нее a(n3) - это любой из находящихся там членов исходной последовательности. И т.д. . Ч.т.д.
(http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=10894)
Вот ссылочка на решение=)
У меня все прокатило))

[gris]

Увы, МаSHA, сообщество уже с негодованием отвергло идею доказательства с использованием понятий ограниченности, неограниченности, предельной точки, окрестности. Ибо они определены только в метрических пространствах, а исходное утверждение верно для просто упорядоченного множества.
Хотя я думаю, что в девятом классе изучаются только последовательности из действительных чисел. Но в девятом классе ещё не проходят предельные точки. Вот разберись тут.