Скорость роста аналитической функции

[Профессор Снэйп]

Верно ли, что существует функция $f$ из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ такая, что для любой аналитической функции $g$ из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ справедливо равенство

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{f(x)} = 0 $$

Источник задачи тут.

[worm2]

Видимо, примером такой функции будет функция Аккермана.
Точнее, функция, которая равна $A(x,x)$ при $x \in \mathbb N$, 0 при $x \leqslant 0$, на любом отрезке $[m, m+1]$, где $m \in \mathbb Z$, линейна и всюду непрерывна.
Ибо есть подозрение, что аналитические на всём $\mathbb R$ функции мажорируются примитивно рекурсивными (доказать не могу).

[Gafield]

Я думаю, нет. И доказывать надо от противного: пусть такая $f$ есть. Тогда как-нибудь вывести, что существует монотоная функция с таким свойством, $f(x)\t\+\infty$ при $x\to\infty$. Затем рассмотреть потенциал двойного слоя

$$u(x,y)=\frac1\pi\int_{\mathbb R}\frac x{x^2+(y-z)^2}\sum_{n=1}^\infty \hi_{[n+\xi_n,n+\varepsilon_n]}f(z),\dz$$

, где $0<\xi_n<\varepsilon_n<1$. Величины $\varepsilon_n$ выбираются достаточно маленькими:

$$\int_n^{n+\varepsilon_n} f(z)\,dz\le \frac1{n^2}$$

, чтобы интеграл

$$\int_{\mathbb R}\sum_{n=1}^\infty \hi_{[n,n+\varepsilon_n]}f(z)\,dz$$

сходился. Тогда функция $g(x)=u(x,e^{-x}\cos\pi x)$ будет аналитической и для каждого натурального $n$ можно подогнать $\xi_n$ так, чтобы $\max_{[n,n+1]} |g(x)|\ge f(n)/4$.

[ИСН]

"Когда в руках молоток, все предметы кажутся похожими на гвозди"
Это - про потенциал двойного слоя, который здесь выглядит слегка неожиданно. Общий подход (от противного, взять зверь-функцию и выстроить по ней аналитическую, которая ещё круче) мне нравится, но я бы брал молоток попроще.

[Gafield]

Например? Мне так с ходу ничего проще придумать не удалось. К тому же требуется аналитическая функция на всей прямой. Что тут проще предъявления конкретной формулы? Разве что другое ядро взять, но разница невелика. По крайней мере для гармонического потенциала аналитичность доказывать не нужно

[Хорхе]

И я думаю, что нет. Возьмем

$$ g(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^{k_n}, $$

где $k_n\ge n$ таково, что $|f(n)|^{1/k_n}<2$, $a_n = |f(n)|/n^{k_n}$. Тогда $g(n)\ge |f(n)|$ для всех $n$ и радиус сходимости ряда для $g$ бесконечен.

[Профессор Снэйп]

worm2 писал(а):

Видимо, примером такой функции будет функция Аккермана.
Точнее, функция, которая равна $A(x,x)$ при $x \in \mathbb N$, 0 при $x \leqslant 0$, на любом отрезке $[m, m+1]$, где $m \in \mathbb Z$, линейна и всюду непрерывна.
Ибо есть подозрение, что аналитические на всём $\mathbb R$ функции мажорируются примитивно рекурсивными (доказать не могу).

Да ну причём здесь функция Аккермана? Просто потому, что она быстро растёт? Совершенно неубедительно! Аналитичность и рекурсивность --- слишком разные вещи!

Gafield писал(а):

Я думаю, нет. И доказывать надо от противного: пусть такая $f$ есть. Тогда как-нибудь вывести, что существует монотоная функция с таким свойством...

Хм... Что-то вроде $g(x) = \sup_{t \leqslant x} f(t)$ взять не получится, да? Или получится?

Про потенциалы и двойные слои не знаю, ибо в этом, увы, ни бум-бум

Хорхе писал(а):

И я думаю, что нет. Возьмем

$$ g(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^{k_n}, $$

где $k_n\ge n$ таково, что $|f(n)|^{1/k_n}<2$, $a_n = |f(n)|/n^{k_n}$. Тогда $g(n)\ge |f(n)|$ для всех $n$ и радиус сходимости ряда для $g$ бесконечен.

Либо я чего-то не понимаю, либо это --- простое и изящное решение задачи!

[Хорхе]

Профессор Снэйп писал(а):

Либо я чего-то не понимаю, либо это --- простое и изящное решение задачи!

Вы все правильно понимаете

[Профессор Снэйп]

Кстати, люди говорят, что можно построить аналитическую на $\mathbb{C}$ функцию, принимающую любые наперёд заданные значения на всех элементах из $\mathbb{Z}[i]$.

[Профессор Снэйп]

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, люди говорят, что можно построить аналитическую на $\mathbb{C}$ функцию, принимающую любые наперёд заданные значения на всех элементах из $\mathbb{Z}[i]$.

Это, кстати, тоже задача Никто не знает, как это можно доказать?

[Sonic86]

Получилось такое:
Если взять $g(z,z_0)=K(z_0) \prod\limits_{\alpha \in \mathbb{Z}[i] - \{ z_0 \}} (1- ( \frac{z}{\alpha} )^m )$, то при $m>2$ произведение сходится к целой функции, которая для всех $z \in \mathbb{Z}[i] - \{ z_0 \}$ равна 0, а $g(z_0, z_0)=K(z_0) = const$. Из них можно строить конечные суммы. Ряды из них, жалко, не сходятся.
То есть можно задавать любую $f(z)$ имеющую конечное число ненулевых значений.

[RIP]

Sonic86 в сообщении #202408 писал(а):

Получилось такое:
Если взять $g(z,z_0)=K(z_0) \prod\limits_{\alpha \in \mathbb{Z}[i] - \{ z_0 \}} (1- ( \frac{z}{\alpha} )^m )$, то при $m>2$ произведение сходится к целой функции, которая для всех $z \in \mathbb{Z}[i] - \{ z_0 \}$ равна 0, а $g(z_0, z_0)=K(z_0) = const$. Из них можно строить конечные суммы. Ряды из них, жалко, не сходятся.

$g(z_0,z_0)\ne K(z_0)$, вообще говоря, но это мелочи.
Если суммировать с подходящими весами, то можно сделать так, чтобы и ряды сходились. Более конкретно, открываем книжку Гельфонда "Исчисление конечных разностей", Гл. III, и читаем.
Пусть $a_n$ --- попарно различные ненулевые (для простоты) комплексные числа с условием $\lim a_n=\infty$, $A_n$ --- произвольные комплексные числа, $f(z)$ --- целая функция, имеющая в точках $a_n$ простые нули. Тогда при достаточно быстро растущих натуральных числах $\mu_n$ функция

$$F(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{A_nf(z)}{f'(a_n)(z-a_n)}\left(\frac z{a_n}\right)^{\mu_n}$$

будет целой функцией, удовлетворяющей $F(a_n)=A_n$.

[Padawan]

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, люди говорят, что можно построить аналитическую на $\mathbb{C}$ функцию, принимающую любые наперёд заданные значения на всех элементах из $\mathbb{Z}[i]$.

Можно построить целую функцию, принимающие заданные значения c_k на любой последвательности точек z_k, стремящейся к бесконечности. По теореме Вейерштрасса, существует целая функция g(z), имеющая в точках z_k простые нули, т.е. g(z)~a_k*(z-z_k), a_k\neq 0 , при z->z_k. По теореме Миттаг-Лефлера существует мероморфная функция f(z), аналитическая всюду, кроме точек z_k, в которых она имеет простые полюсы с главной частью c_k/(a_k (z-z_k)), т.е. f(z)~c_k/(a_k(z-z_k)), z->z_k. Тогда функция g(z)f(z) будет искомой.

Кстати, если посмотреть доказательство этих теорем, то видно, что если z_k и c_k действительные, то функции f и g принимают на действительной оси действительные значения.