Вот две интересные задачи по алгебре...

[Mcicool]

1. Пусть N1 - нормальная подгруппа в G1, а N2 - нормальная подгруппа в G2. Доказать, что N1xN2 - нормальная подгруппа в G1xG2 и что (G1xG2)/(N1xN2) изоморфна (G1/N1)x(G2/N2).

2. Пусть [x+1] - класс вычетов многочлена x+1 в факторкольце Z2[x]/(x^4+1). Найти классы вычетов, составляющие главный идеал ([x+1]) в указанном факторкольце.

Никак не могу решить

[Mcicool]

Ну, никто решить не может?

[Dan B-Yallay]

1. Подгруппа N нормальна если $ \forall g \in G , gN = Ng Или, эквивалентно: $ gNg^{-1} = N то есть для любого $ \alpha \in N \ \ g \alpha g^{-1} \in N

Пусть

$ (g_1, g_2) \in G_1 \times G_2, (\alpha, \beta) \in N_1 \times N_2

Имеем

$(g_1, g_2) (\alpha, \beta) (g_1, g_2)^{-1} = $(g_1, g_2) (\alpha, \beta) (g_1^{-1}, g_2^{-1}) = $(g_1 \alpha g_1^{-1}, g_2 \beta g_2^{-1})

$(g_1 \alpha g_1^{-1}) \in N_1 & ( g_2 \beta g_2^{-1}) \in N_2 $ \Rightarrow $(g_1 \alpha g_1^{-1}, g_2 \beta g_2^{-1}) \in N_1 \times N_2

Изоморфизм:

$ \varphi : (G_1 \times G_2) / (N_1 \times N_2) \to (G_1 / N_1) \times (G_2 / N_2)

$((g_1,g_2) + (N_1, N_2)) \mapsto_\varphi ( g_1 + N_1, g_2+ N_2)

Это гомоморфизм ядром которого является (0,0) , поэтому иньекция. Как доказать что это отображение НА - пока не нашел. %)

P.S. Вообще-то нашел - это следует из теоремы Лагранжа.

[Руст]

1. Достаточно рассмотреть гомоморфизм $G_1*G_2\to (G_1/N1)*(G_2/N_2).$
Вообще это верно для любой структуры универсальных алгебр из-за непрерывности справа функтора стирания для них.
2. Если обозначить через у=[х+1], то кольцо являтся множеством: $a_0+a_1y+a_2y^2+a_3y^3.(y^4=0)$, а ваш идеал есть множество с $a_0=0$.

[Mcicool]

Руст писал(а):

1. Достаточно рассмотреть гомоморфизм $G_1*G_2\to (G_1/N1)*(G_2/N_2).$
Вообще это верно для любой структуры универсальных алгебр из-за непрерывности справа функтора стирания для них.
2. Если обозначить через у=[х+1], то кольцо являтся множеством: $a_0+a_1y+a_2y^2+a_3y^3.(y^4=0)$, а ваш идеал есть множество с $a_0=0$.

А можно чуть чуть по подробнее??

[Mcicool]

Ну серьезно поподробнее можно?

[Trueman]

Mcicool писал(а):

Ну серьезно поподробнее можно?

$$ \xymatrix{ &G_1\times G_2/N_1\times N_2\\ G_1\ar@{->>}_{n_1}[d]& G_1\times G_2\ar@{->>}^{\pi_2}[r] \ar@{->>}_\beta[u]\ar@{->>}_{\pi_1}[l] & G_2 \ar@{->>}_{n_2}[d]\\ G_1/N_1 &N_1\times N_2\ar@{>->}_\alpha[u]&G_2/N_2\\ &(G_1/N_1)\times (G_2/N_2)\ar@{->>}[ul]\ar@{->>}[ur]&}$$

В силу того, что нижний объект есть произведение двух фактор групп, обязан существовать единственный морфизм $\psi :G_1\times G_2\to G_1/N_1)\times (G_2/N_2)$ который делает диаграмму коммутативной, но в этом случае получим, что последовательность $\psi \circ \alpha$ точна, но с другой стороны, очевидно что точна и последовательность $\beta \circ \alpha$, а значит группа $G_1\times G_2/N_1\times N_2$ изоморфна $(G_1/N_1)\times (G_2/N_2)$

[Mcicool]

Огромное спасибо, а вторую как решить?

[Mcicool]

Пусть [x+1] - класс вычетов многочлена x+1 в факторкольце Z2[x]/(x^4+1). Найти классы вычетов, составляющие главный идеал ([x+1]) в указанном факторкольце.

Как решить, ен пойму...

[maxal]

Mcicool писал(а):

2. Пусть [x+1] - класс вычетов многочлена x+1 в факторкольце Z2[x]/(x^4+1). Найти классы вычетов, составляющие главный идеал ([x+1]) в указанном факторкольце.

Как нетрудно видеть $x^4+1=(x+1)^4$ над $\mathbb{Z}_2$, то есть $x^4+1$ является кратным $x+1$. Поэтому все элементы главного идеала $(x+1)$ - это в точности те полиномы степени не превосходящей 3, у которых сумма коэффициентов равна 0 (в $\mathbb{Z}_2$).