ТФКП

[IvanProg]

Здравствуйте знатоки, нужна Ваша помощь.
1) Вычислить интеграл:

$$\int\limits_{C}^{ } zIm(z^2) dz$$

,

$$C: |z|=1 (-\pi\leqslant argz\leqslant 0)$$

2) Показать, что модуль и аргумент аналитической функции

$$f(z)=R(x,y)e^{iA(x,y)}$$

связаны соотношениями

$$\frac {dR} {dx}=R(\frac {dA} {dy})$$

,

$$\frac {dR} {dy}=-R(\frac {dA} {dx})$$

.
3) Восстановить аналитическую в окрестности точки

$$z_0$$

функцию

$$f(z)$$

по известной мнимой части

$$v(x,y)$$

и значению

$$f(z_0)$$

$$v=arctg(\frac y x)$$

,

$$(x>0), f(1)=0$$

[ewert]

Запишите ну хотя бы с помощью тега [ math ], как требуется вверху странички. Иначе читать невозможно.

Впрочем, на третий вопрос можно дать ответ сходу. Естественно, $u(x,y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}$. Просто потому, что исходная функция есть мнимая часть комплексного логарифма, выражение для которого все обязаны знать в лицо. А можно дать -- потому, что такой вариант ответа, конечно же, неспортивен.

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

[PAV]

Тема возвращена.

[IvanProg]

ewert
Спасибо, но как показать что данная функция гармоническая, знаю что это проверяется через уравнение Лапласса, но получается какая-то ерунда. Если можно, покажите, пожалуйста.

[ewert]

1). Запишите $\mathop{\mathrm{Im}}(z^2)$ как ${1\over 2i}(z^2-\overline z^2)$ и сделайте подстановку $z=e^{it}$, интеграл возьмётся практически мгновенно.

2).Самый дешёвый способ, наверное: выписать условия Коши-Римана для логарифма от этой функции -- ровно это сходу и получится.

3). Что значит "не получается гармоничность"? Тупо дифференцируйте два раза, только аккуратно.

[IvanProg]

ewert
Простите, но не могу понять почему $\mathop{\mathrm{Im}}(z^2)$ = ${1\over 2i}(z^2-\overline z^2)$

[ewert]

Это -- общий факт, который надо твёрдо помнить. Если $w=x+iy$ и $\overline w=x-iy$, то что такое $w-\overline w$?

[IvanProg]

ewert писал(а):

Это -- общий факт, который надо твёрдо помнить. Если $w=x+iy$ и $\overline w=x-iy$, то что такое $w-\overline w$?

Да, все понял. Попробую.

1-я задача решена.
2-я - не понятно как делать

$$Ln{f(z)}=Ln{R(x,y)e^{iA(x,y)}}$$

получаем

$$Ln{f(z)}=Ln{R(x,y)}+iA(x,y)$$

Выражаем $R(x,y)$

$$R(x,y) = \frac {f(x,y)} {e^{iA(x,y)}}$$

Что дальше, по моему, что-то не то.
3-я - вобщем то да, согласен, что данная функция есть мнимая часть главного значения логарифма, но у меня не получается показать что исходная функция есть гармоническая, ноль не получается. И при нахождении аналитической функции через условия Коши-Римана, ничего нормального не выходит.