Методы простых итераций и Ньютона

[Teg]

Помогите разобрать данные методы )


точнее нужен Алгоритм решения подобных задач ) так как надо будет написать программу на с++

[GAA]

Скопируйте систему у меня, если это то, что Вам надо.
$\left\{\begin{array}{l} 2y-\cos(x+1)=0, \\ x+\sin y=-0.4. \end{array} \right$

[Teg]

GAA писал(а):

Скопируйте систему у меня, если это то, что Вам надо.
$\left\{\begin{array}{l} 2y-\cos(x+1)=0, \\ x+\sin y=-0.4. \end{array} \right$

Благодарю, но мнеб лучше алгоритм решения ))))

[Парджеттер]

Teg, а что конкретно вызывает вопросы в этих методах?
Или Вы хотите, чтобы мы тут за Вас алгоритм программы накатали пока Вы телевизор смотрите?

[GAA]

Teg, простое и доходчивое изложение этих методов Вы найдете в книге
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики (3-е изд.). — М.: Наука, 1966

[Int42]

Рассмотрим систему:

\[ \left\{ \begin{array}{l} a_{11} x_1 + ... + a_{1n} x_n = b_1 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;.... \\ a_{n1} x_1 + ... + a_{nn} x_n = b_n \\ \end{array} \right. \]

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

\[ \left( \begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ \; \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right)^{i + 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} + 1} & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} + 1} & {...} & {a_{2n} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & \cdots & {a_{nn} + 1} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } \\ {x_2 } \\ \vdots \\ {x_n } \\ \end{array}} \right)^i - \left( {\begin{array}{*{20}c} {b_1 } \\ {b_2 } \\ \vdots \\ {b_n } \\ \end{array}} \right) \]

Сходимость методу будет осуществлять:

\[ \left| {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} + 1} & {...} & {a_{n1} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_{n1} } & {...} & {a_{nn} + 1} \\ \end{array}} \right| < 1 \]

Алгоритм
1. Условие

\[ f\left( x \right) = 0 \]

преобразуется к виду

\[ x = \phi \left( x \right) \]

, где

\[ \phi \left( x \right) \]

- сжимающя
2. Задаётся начальное приближение и точность

\[ x_0 ,\;\varepsilon ,\;i = 0 \]

3.Вычисляется очередная итерация

\[ x_{i + 1} = \phi \left( {x_i } \right) \]

Если

\[ \left\| {x_{i + 1} - x_i } \right\| > \varepsilon \]

, то

\[ i = i + 1 \]

и возврат к шагу 3.
Иначе

\[ x = x_{i + 1} \]

и останов.

[Teg]

Парджеттер писал(а):

Teg, а что конкретно вызывает вопросы в этих методах?
Или Вы хотите, чтобы мы тут за Вас алгоритм программы накатали пока Вы телевизор смотрите?

нам их ещё не объясняли, а по учебнику не смог разобраться...
специльно указал в "Метки1 : ищу литературу, ищу ресурсы в интернете"

Добавлено спустя 20 секунд:

GAA писал(а):

Teg, простое и доходчивое изложение этих методов Вы найдете в книге
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики (3-е изд.). — М.: Наука, 1966

спасибо

Добавлено спустя 16 секунд:

Int42 писал(а):

Рассмотрим систему:

\[ \left\{ \begin{array}{l} a_{11} x_1 + ... + a_{1n} x_n = b_1 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;.... \\ a_{n1} x_1 + ... + a_{nn} x_n = b_n \\ \end{array} \right. \]

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

\[ \left( \begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ \; \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right)^{i + 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} + 1} & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} + 1} & {...} & {a_{2n} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & \cdots & {a_{nn} + 1} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } \\ {x_2 } \\ \vdots \\ {x_n } \\ \end{array}} \right)^i - \left( {\begin{array}{*{20}c} {b_1 } \\ {b_2 } \\ \vdots \\ {b_n } \\ \end{array}} \right) \]

Сходимость методу будет осуществлять:

\[ \left| {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} + 1} & {...} & {a_{n1} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_{n1} } & {...} & {a_{nn} + 1} \\ \end{array}} \right| < 1 \]

Алгоритм
1. Условие

\[ f\left( x \right) = 0 \]

преобразуется к виду

\[ x = \phi \left( x \right) \]

, где

\[ \phi \left( x \right) \]

- сжимающя
2. Задаётся начальное приближение и точность

\[ x_0 ,\;\varepsilon ,\;i = 0 \]

3.Вычисляется очередная итерация

\[ x_{i + 1} = \phi \left( {x_i } \right) \]

Если

\[ \left\| {x_{i + 1} - x_i } \right\| > \varepsilon \]

, то

\[ i = i + 1 \]

и возврат к шагу 3.
Иначе

\[ x = x_{i + 1} \]

и останов.

спасибо

[Imperator]

А будет ли такая штука

$$ \left\{ \begin{array}{l} y^{k+1} = \frac{\cos (x^k+1)}{2},\\ x^{k+1} = -0.4-\sin y^k \end{array} \right. $$

$(k=0,1,2,...)$ сходиться при безболезненном выборе $\{x^0,y^0\}?$