Разложение многочлена в виде суммы квадратов 2-х многочленов

[e7e5]

Задача:
Доказать, что если многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами примнимает при всех $x$ принадлежащих R положительные значения, то он представляется в виде суммы квадратов двух многочленов с действительными коэффициентами.

Начинаю:
Если по условию многочлен $P(x)$ принимает только положительные значения, то что можно сказать о разложении такого многочлена?
С чего начать?

[ИСН]

Это следствие двух вещей:
1) Что, грубо говоря, многочлен $x^2+1$ - это таки сумма квадратов
и
2) Что если два товарища представляются (каждый) в виде суммы квадратов, то и их произведение - тоже.

[ASA]

e7e5 писал(а):

Если по условию многочлен $P(x)$ принимает только положительные значения, то что можно сказать о разложении такого многочлена?

Тогда у него нет действительных корней и разложение имеет вид ...

[Профессор Снэйп]

ИСН писал(а):

Это следствие двух вещей:
1) Что, грубо говоря, многочлен $x^2+1$ - это таки сумма квадратов
и
2) Что если два товарища представляются (каждый) в виде суммы квадратов, то и их произведение - тоже.

Ага. Только ещё надо использовать, что каждый многочлен из $\mathbb{R}[x]$ раскладывается в произведение многочленов степени не выше второй, что $x^2 = x^2 + 0$ --- тоже сумма квадратов и что если многочлен не принимает отрицательных значений, то все его действительные корни имеют чётную кратность.

Несложная задача. Мы с ребятами в 10-ом классе физматшколы её разбирали.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

Ой! Там по условию многочлен принимает строго положительные значения, нулевых не принимает. Ну что ж, тогда ещё проще

[ASA]

ИСН писал(а):

2) Что если два товарища представляются (каждый) в виде суммы квадратов, то и их произведение - тоже.

$[(x+a)^2+b^2]\cdot[(x+c)^2+d^2]=f^2(x)+g^2(x)$. Что-то здесь не находятся многочлены $f(x)$ и $g(x)$. Видимо, плохо ищу.

[Профессор Снэйп]

ASA писал(а):

$[(x+a)^2+b^2]\cdot[(x+c)^2+d^2]=f^2(x)+g^2(x)$. Что-то здесь не находятся многочлены $f(x)$ и $g(x)$. Видимо, плохо ищу.

$$ (x^2 + y^2)(z^2 + t^2) = \left( xz+yt \right)^2 + \left( xt-zy \right)^2 $$

Равенство справедливо для элементов $x,y,z,t$, принадлежащих произвольной коммутативной алгебре над $\mathbb{R}$. В том числе и алгебре многочленов $\mathbb{R}[v]$

[ASA]

Профессор Снэйп писал(а):

$$ (x^2 + y^2)(z^2 + t^2) = \left( xz+yt \right)^2 + \left( xt-zy \right)^2 $$

Как просто! Спасибо!

[Imperator]

e7e5
Очень хорошая книга по теме "Многочлены" с хорошим изложением. Можете ознакомиться, если интересно и не лень.

http://www.mat.net.ua/mat/Prasolov-Mnogochleni.htm