Свойство корней кубического уравнения

[e7e5]

Такая задача:
Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ - корни уравнения $x^3+px+q=0$
Доказать, что $x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3$.

С чего бы подступиться?
Ясно, что можно разложить как
$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$, но похоже нужен другой подход...

[neo66]

Смотрите, из того, что Вы написали следует, что $x_1+x_2+x_3=0$. И больше ничего сказать нельзя. Поэтому, то, что нужно доказать, по-видимому, является следствием данного равенства. Вот и попытайтесь это доказать.

[ewert]

Из теоремы Виета откровенно следует, что $x_1^3+x_2^3+x_3^3+3q=0$; а что отсюда следует по той же теореме Виета?...

-------------------------------------
по поводу первого шага. Просто подставьте каждый из корней в уравнение и сложите полученные равенства.

[e7e5]

neo66 писал(а):

Смотрите, из того, что Вы написали следует, что $x_1+x_2+x_3=0$. И больше ничего сказать нельзя. Поэтому, то, что нужно доказать, по-видимому, является следствием данного равенства. Вот и попытайтесь это доказать.

Перемножил разложение и выделил коэффициенты при разных степенях $x$

$x(x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2)-x^2(x_3+x_2+x_1)+x^3-x_1x_2x_3=0$
Сравнивая с заданным кубическим ур. в условии получаем, что $x_1+x_2+x_3=0$.
В книжке ничего не говорится про теорему Виета. Либо ее уже нужно знать, либо для конкретного примера довести доказательства.
Куда же двигаться дальше?

[neo66]

Поздравляю Вас! Вы только что доказали теорему Виета.

[ewert]

Теорему Виета -- следует знать безусловно. Как минимум: что сумма корней равна минус предпоследнему коэффициенту и что их произведение равно свободному члену с учётом знака.

[e7e5]

ewert писал(а):

-------------------------------------
по поводу первого шага. Просто подставьте каждый из корней в уравнение и сложите полученные равенства.

Точно!
$x_1^3+x_2^3+x_3^3+ p(x_1+x_2+x_3)+3q=0$
Отсюда как раз и следует доказательство. Спасибо