Доказательство формулы конечных разностей (матиндукция)

[Maxxxu]

Добрый день!
Помогите пожалуйста разобраться с доказательством по индукции формулы конечных приращений:

$\triangle^k y_i = \sum\limits_{j=0}^k (-1)^j C_{k}^{j} y_{i+k-j}.$

По определению,
$\triangle^k y_i = \triangle^{k-1} y_{i+1} - \triangle^{k-1} y_i.$

База индукции.

$k = 1: \triangle y_i = y_{i+1} - y_i$ - верно

Предположение индукции.

Пусть для $k \leq n$ формула верна, то есть
$\triangle^n y_i = \sum\limits_{j=0}^n (-1)^j C_{n}^{j} y_{i+n-j}.$

Шаг индукции.

Покажем, что формула верна и для $k = n+1$, то есть

$\triangle^{n+1} y_i = \sum\limits_{j=0}^{n+1} (-1)^j C_{n+1}^{j} y_{i+n+1-j}.$

Надо доказать, что

$\triangle^{n+1} y_i = \triangle^{n} y_{i+1} - \triangle^{n} y_i.$

Тогда

$\sum\limits_{j=0}^{n+1} (-1)^j C_{n+1}^{j} y_{i+n-j+1} = \sum\limits_{j=0}^n (-1)^j C_{n}^{j} y_{i+n-j+1} - \sum\limits_{j=0}^n (-1)^j C_{n}^{j} y_{i+n-j}$

Как можно дальше установить верность этого равенства? Я пытался использовать формулу $C_n^j = C_{n-1}^{j-1} + C_{n-1}^{j},$
но тогда получаются слагаемые вроде $C_{n}^{n+1}$

Заранее спасибо за любые советы.

[GAA]

В первой сумме индекс при $y$ изменяется от $i+1$ до $i+n+1$, а во второй — от $i$ до $i+n$. Для удобства приведения подобных слагаемых, от первой суммы отделим слагаемое с самым большим значением индекса при $y$, а от второй — с самым малым.
$(-1)^0 C_{n}^{0} y_{i+n+1} + \sum\limits_{j=1}^n (-1)^j C_{n}^{j} y_{i+n-j+1} - \sum\limits_{j=0}^{n-1} (-1)^j C_{n}^{j} y_{i+n-j} - (-1)^n C_{n}^{n} y_{i+n-n}$
После этого преобразуем верхний и нижний пределы суммирования так, чтобы в обеих суммах они были одними и теми же. Затем объединим суммы.

[Maxxxu]

GAA, если я заменю, например, $j = 1..n$ на $r = j-1$, т.е. $r = 0..n-1$, то тогда ведь пределы суммирования в первой сумме и во второй будут разными - в первой $r = 0..n-1$, а во второй $j = 0..n-1$? Как их тогда складывать?
Мы же не можем считать, что $j = r$, ведь $r$ от $j$ зависит...

[GAA]

Например, преобразуем первую сумму так, чтобы пределы суммирования изменялись от 0 до $n-1$
$(-1)^0 C_{n}^{0} y_{i+n+1} - \sum\limits_{j=0}^{n-1} (-1)^j C_{n}^{j+1} y_{i+n-j} - \sum\limits_{j=0}^{n-1} (-1)^j C_{n}^{j} y_{i+n-j} + (-1)^{n+1} C_{n}^{n} y_{i+n-n}$
или
$(-1)^0 C_{n+1}^{0} y_{i+(n+1)} - \sum\limits_{j=0}^{n-1} (-1)^j (C_{n}^{j+1} + C_{n}^{j}) y_{i+n-j} + (-1)^{n+1} C_{n+1}^{n+1} y_{i+(n+1)-(n+1)}$.

Добавлено спустя 4 минуты 39 секунд:

Ваши $r$ и $j$ --- немые индексы. Может аналогия с определенным интегралом Вам поможет: определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. $r$ можно смело обозначить за $j$.

[TOTAL]

Maxxxu писал(а):

Добрый день! Заранее спасибо за любые советы.

$\triangle^k y_i = (T-E)^k y_i,$ где $Ty_i=y_{i+1}, E y_i = y_i$ - и не надо морочить себе голову индукцией.

[Maxxxu]

GAA,
То есть мы фактически заменили $j$ на $j-1$?
Почему тогда во втором слагаемом осталось $(-1)^j$, а коэффициент в нем же стал $C^{j+1}_n$?
А почему в последнем равенстве у вас крайние слагаемые , до этого имевшие вид $(-1)^0 C_n^0 y_{i+n+1}$ и $(-1)^{n+1} C_n^n y_i$ приобрели вид $(-1)^0 C_{n+1}^0 y_{i+n+1}$ и $(-1)^{n+1} C_{n+1}^{n+1} y_i$? Это сделано для удобства дальнейших действий (в принципе что с $n$, что с $n+1$ их записать - результат тот же)?

А сумма $C_n^{j+1} + C_n^j$ равна $C_{n+1}^{j-1}$, верно?

TOTAL, а $T$ и $E$ - это операторы?

[GAA]

1.

Maxxxu писал(а):

То есть мы фактически заменили $j$ на $j-1$?

Я бы так не сказал. Мы делаем замену $r=j-1$, а затем переобозначаем немой индекс $r$ через $j$.

2.

Maxxxu писал(а):

Почему тогда во втором слагаемом осталось $(-1)^j$, а коэффициент в нем же стал $C^{j+1}_n$?
А почему в последнем равенстве у вас крайние слагаемые , до этого имевшие вид $(-1)^0 C_n^0 y_{i+n+1}$ и $(-1)^{n+1} C_n^n y_i$ приобрели вид $(-1)^0 C_{n+1}^0 y_{i+n+1}$ и $(-1)^{n+1} C_{n+1}^{n+1} y_i$? Это сделано для удобства дальнейших действий (в принципе что с $n$, что с $n+1$ их записать - результат тот же)?

Да, преобрауем так, чтобы удобно было соединить с суммой.


3.

Maxxxu писал(а):

А сумма $C_n^{j+1} + C_n^j$ равна $C_{n+1}^{j-1}$, верно?

У вас опечатка.

[TOTAL]

Maxxxu писал(а):

TOTAL, а $T$ и $E$ - это операторы?

Да, это операторы увеличения индекса на единицу и тождественный соответственно.

[Maxxxu]

Сумма равна $C_{n+1}^{j+1}$, вроде теперь правильно?

Я спрашивал вот об этом:
у нас была запись $\sum\limits_{j=1}^n (-1)^j C_n^j y_{i+n-j+1}$
Изменив пределы суммирования, получили:
$\sum\limits_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_n^{j+1} y_{i+n-j}$

Почему не $\sum\limits_{j=0}^{n-1} (-1)^{j+1} C_n^{j+1} y_{i+n-j}$? А то получается, что в сочетаниях мы изменили $j$ на $j+1$, а $(-1)^j$ не изменили?

И аналогично, в последнем слагаемом мы заменили $(-1)^{n}$ на $(-1)^{n+1}$... это же не одно и то же...

[GAA]

Один минус вынесен за знак суммы; $-(-1)^n = (-1)^{n+1}$.
_________________________________________________

Дальше. Применяя указанное Вами тождество, получим
$(-1)^0 C_{n+1}^{0} y_{i+(n+1)} + \sum\limits_{j=0}^{n-1} (-1)^{j+1} C_{n+1}^{j+1} y_{i+(n+1)-(j+1)} + (-1)^{n+1} C_{n+1}^{n+1} y_{i+(n+1)-(n+1)}$.
Делаем замену $r=j+1$
$(-1)^0 C_{n+1}^{0} y_{i+(n+1)} + \sum\limits_{r=1}^{n} (-1)^r C_{n+1}^r y_{i+(n+1)-r} + (-1)^{n+1} C_{n+1}^{n+1} y_{i+(n+1)-(n+1)}$.

P.S. То, что я Вам написал — никому не надо: все это Вы должны были знать после доказательства формулы Лейбница о производной $n$-го порядка. Просто я формально отвечал на вопрос. Я бы послушал TOTAL'а.

[Maxxxu]

GAA, спасибо за помощь (и терпение )

TOTAL, спасибо за короткий способ

[Yu_K]

Просто картинка вдогонку - трегольник Паскаля.