Дифференциальное уравнение

[Binder]

Помогите пожалуйста ОЧЕНЬ СРОЧНО!
найти частные решения уравнения с начальными условиями:
y''+y'=1+cos x, y(0)=2, y'(0)=1

Буду благодарна любому ответу!

[ewert]

Вот любой ответ: воспользуйтесь или методом неопределённых коэффициентов, или преобразованием Лапласа (сиречь операционным исчислением).

Можно, конечно, ещё методом вариации произвольных постоянных или понижением степени, но это как-то глуповато, и наверняка не этого от Вас ждут.

[Brukvalub]

Найдите общее решение однородного уравнения и прибавьте частное решение неоднородного уравнения.
Затем из начальных условий определите значения произвольных констант.

[Binder]

[quote="Brukvalub"]Найдите общее решение однородного уравнения и прибавьте частное решение неоднородного уравнения.

общее решение однородного найду, а где взять частное неоднородного?
и как их складывать?

[ewert]

Складывать -- молча, есть на этот счёт теоремка.

А как найти частное -- угадать, конструируя это решение по опять же стандартным и вполне определённым правилам, которые следует прочесть (впрочем, эти правила вполне соответствуют просто соображениям здравого смысла).

[mkot]

Тут можно ещё заметить, что правая часть уравнения есть сумма двух правых частей специального вида, то есть найти стандартными методами частное решение уравнения с правой частью $1$ и с правой частью $\cos x$ их сумма и даст искомое частное решение.

Ну то есть методом неопределённых коэффицентов
$y_{{*}1} = Ax + B$ подставить в уравнение $y'' + y' = 1$,
$y_{{*}2} = B\cos x + C\sin x$ подставить в уравнение $y'' + y' = \cos x$.