Предел функции. Правило Лопиталя

[ulia2009]

помогите решить предел-правило лопиталя

$\lim\limits_{x\to 0} x^{\tg x} = 1$

GAA:
Формулы обязательно следует окружать знаком доллара (см. тему Краткий ФАК по тегу [math].) Сообщение мною отредактировано.

.

[ewert]

Прологарифмируйте, опустите тангенс в знаменатель, а там уж и Лопиталь.

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

Чтобы именно это имелось в виду, скобки должны быть фигурные, а не круглые.

[ulia2009]

а можно поподробней, пожалуйста

вот что получилось

tgxlnx?

и потом опустить tgx в знаменатель?

[gris]

ulia2009, чтобы было удобно читать Ваши сообщения, окружайте все формулы знаком $,

перед названием функции ставьте \

Вот так: $ \ln( x^{\tg x})= \tg x \ln x=\frac {lnx} {ctgx}$

[ulia2009]

спасибо большое за помощь

Добавлено спустя 21 минуту 12 секунд:

применила 2 раза правило лопиталя,
получила



если подставить x=0

получаем 0

но в ответе 1

где ошибка?

[ewert]

ulia2009 писал(а):

применила 2 раза правило лопиталя,
получила



если подставить x=0

получаем 0

но в ответе 1

где ошибка?

Ну, во-первых, Вы пока ничего не получили; во всяком случае, следов какого-то получения пока не видно.

Во-вторых, если всё же поднапрячь экстрасенсорные способности, то можно предположить, что Вы забыли о том логарифмировании, которое было в самом начале.

[ulia2009]

применила 2 раза правило лопиталя,
получила

$\lim = \ 2 {\sin x} * {\cos x}

[ewert]

Во-первых, запись безграмотная: что значит "предел равен два синус на косинус"?

Во-вторых, я угадал -- Вы и впрямь забыли про логарифмирование.

[gris]

Можно мне выскочкой побыть? Тяну руку.

$$\lim\limits_{x\to 0} x^{\tg x } = \lim\limits_{x\to 0} \exp (\ln x^{\tg x }) =\exp( \lim\limits_{x\to 0} \tg x \cdot \ln x)=$$

$$=\exp( \lim\limits_{x\to 0} \frac{ \ln x}{\ctg x})=\exp( \lim\limits_{x\to 0} \frac{ 1/x}{-1/\sin^2x})=\exp( \lim\limits_{x\to 0} \frac{ -sin^2x}{x})=$$

$$=\exp( \lim\limits_{x\to 0} -2\sin x \cos x)=\exp(0)=1$$

А то мне кажется, что Вы тангенс поместили в знаменатель as is и забыли производную косинуса. Или забыли производную котангенса.

Это не подсказка, так как задачу-то Вы решили почти.

[ulia2009]

спасибо большое за помощь
да, действительно забыла про логарифмирование