перманентные неравенства

[Руст]

Пусть имеется k векторов столбцов $A_1,A_2,...,A_k$ в n мерном пространстве $n\ge k$ под перманентом $per(A_1,A_2,...,A_k)$ понимается антиопределитель из столбцов $|A_1,A_2,...,A_k,1,..,1$ где 1 означает столбец из единиц. Добавляется $n-k$ таких столбцов, чтобы получилось квадратная матрица. Антиопределитель считается так же как определитель только без сомножителей $(-1)^{\sigma}$ для нечётных перестановок. Например для одного вектора $A_1=\{x_1,...,x_n\}$ получаем $per(A_1)=(n-1)!(x_1+x_2+...+x_n)$, для двух векторов $A_2=\{y_1,y_2,...,y_n\}$ получаем $per(A_1,A_2)=(n-2)!\sum_i\sum_{j\not =i} x_iy_j$.
Обозначим через $per_{ij}=per(A_1,...A_i,...,A_i,...,A_k)$ перманент из k векторов, где вектор $A_j$ заменен (повторно) на вектор $A_i$.
Доказать, что если все элементы векторов положительные числа, то выполняется

$$per(A_1,...,A_k)^{k(k-1)}\ge \prod_{i\not =j} per_{ij}$$

и равенство имеет место только в случае, когда все столбцы пропорциональные.