Математическое ожидание для слоев Парето оптимальных решений

[juna]

В единичном $n$ - мерном кубе выбирается $m$ точек, координаты которых генерируются случайно по равномерному закону. В полученном наборе снимается первый слой Парето оптимальных решений, данные точки удаляются, снимается второй слой и т.д. пока не удалены все точки. Сколько в среднем при указанных условиях будет слоев?

[ASA]

Рассмотрим случай $n=1$, $m=2$ и "куб" - отрезок $[0,1]$. Пусть $X_1$, $X_2$ - координаты первой и второй точек (равномерно распр. случ.величины). Тогда слоев (Парето) оптимальных решений будет один, если $X_1=X_2$ и два - если $X_1\neq X_2$. Но поскольку $P(X_1=X_2)=0$ (т.к. $X_1$, $X_2$ непрерывные СВ), то п.н. слоев будет два. Ну и в среднем, естественно, два.

Добавлено спустя 21 минуту 35 секунд:

Пусть $n=2$, $m=2$, "куб" - квадрат со сторонами $[0,1]$. $X=(X_1,X_2)$, $Y=(Y_1,Y_2)$ - координаты точек. Тогда слоев будет один, если $(X_1-Y_1)(X_2-Y_2)<0$ и два - если $(X_1-Y_1)(X_2-Y_2)>0$. Вероятность события $(X_1-Y_1)(X_2-Y_2)=0$ равна 0. Далее, если найти вероятность события $(X_1-Y_1)(X_2-Y_2)<0$, ну или $(X_1-Y_1)(X_2-Y_2)>0$, то найдем и среднее число слоев.

[juna]

Как это помогает в общем случае?
Вообще, насколько помню, известно, что количество Парето оптимальных решений из $m$ точек оценивается в среднем $\ln(m)$, но дальше слои не будут независимыми, как мне кажется, и решение, если оно есть, должно быть хитрым.

[ASA]

juna писал(а):

Как это помогает в общем случае?

Далее перебираем всевозможные случаи неравенств. Находим число сочетаний и т.д.

juna писал(а):

Вообще, насколько помню, известно, что количество Парето оптимальных решений из $m$ точек оценивается в среднем $\ln(m)$

Мне это неизвестно. Ссылочку бы.