Является ли тождеством? (тригонометрия)

[Усталый]

Я заступорился на сравнении двух выражений

$$ \frac{ \sin x + 1}{\cos x} $$

и

$$ \frac{ \cos x + \sin x + 1 }{ \cos x - \sin x + 1 } $$

Не могли бы Вы подсказать действительно ли они эквивалентны?

P.S. Подставляя различные значения

$$ x $$

, у меня получаются верные равенства.

[Алексей К.]

Чтобы в этом убедиться, достаточно, например, выразить $\sin x ,\;\cos x$ через тангенс половинного угла $\tg \frac{x}{2}$. Здесь, конечно, можно и попроще (пропорцию как проверить?), но приём этот полезно знать.

[Trotil]

В области определения - эквивалентны.
Здесь нужно перемножить и раскрыть скобки.

[PAV]

Когда $\cos x=0$ и $\sin x=-1$, то левая часть не определена, так как в знаменателе ноль, а правая - определена. Но слева в числителе тоже ноль и можно доопределить по непрерывности.

[ewert]

Приведите разность к общему знаменателю.

(Они не совсем эквивалентны -- корни знаменателей разные.)

[Усталый]

Всем спасибо!