2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дуга кривой -элементарная функция
Сообщение19.03.2009, 23:19 
Такая задача:
При каких рациональных числах $\alpha$ ($\alpha \ne 0$) длина дуги кривой
$y=ax^{\alpha}$ $0 < x_0 \le x \le t$, является элементарной функцией t?

Дается указазание: Воспользоваться теоремой Чебышева от интегрируемости дифференциального бинома.

Для начала найдем элемент длины такой кривой
$dS=\sqrt{1+a^2 \alpha^2 x^{2(\alpha-1)}}dx$
А вот что дальше? По идее нужно для длины ( интеграла) найти такие параметры, при которых этот определенный интеграл считается в элементарных функциях.

 
 
 
 
Сообщение19.03.2009, 23:45 
Теорема Чебышёва: интеграл $\int x^m(a+bx^n)^pdx$ ($m,n,p$ - рациональные) сводится к интегрированию рациональных функций только в следующих трех случаях: 1) $p$ - целое; 2) $(m+1)/n$ - целое; 3) $(m+1)/n+p$ - целое.
В нашем случае $m=0, p=1/2, n=2(\alpha-1)$, стало быть, $1/(2(\alpha-1))$ или $1/(2(\alpha-1))+1/2$ должно быть целым. Естественно, не забудем тривиальный случай $\alpha=1$.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2009, 13:31 
Аватара пользователя
Полосин в сообщении #196765 писал(а):
Теорема Чебышёва: интеграл $\int x^m(a+bx^n)^pdx$ ($m,n,p$ - рациональные) сводится к интегрированию рациональных функций
Здесь есть некоторая натяжка: остается непонятным, почему в других случаях (т.е. когда придется интегрировать нерац. функцию) интеграл не возьмется в элементарных функциях...

 
 
 
 
Сообщение20.03.2009, 18:39 
Теорема Чебышёва именно это и утверждает: интеграл не выражается через элементарные функции ни при каких рациональных значениях параметров, за исключением трех указанных случаев.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2009, 21:05 
Полосин писал(а):
Теорема Чебышёва именно это и утверждает: интеграл не выражается через элементарные функции ни при каких рациональных значениях параметров, за исключением трех указанных случаев.


Как то сходу сложновато. Взял учебник, там пару слов, доказательства нет :(
Еще упоминается русский математик Д.Д. Мордухай-Болотовский, рассматревший иррациональные параметры.

Подробнее можете пояснить пожалуйста...

 
 
 
 
Сообщение20.03.2009, 23:20 
П.Л.Чебышёв. «Об интегрировании иррациональных дифференциалов», [1853], Полное собр. соч., т. 2, 1947.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2009, 23:37 
e7e5 в сообщении #197018 писал(а):
Подробнее можете пояснить пожалуйста...
Вам выдали критерий (да-да, необходимое и достаточное условие) и предложили его применить к конкретной задаче. Думаю, доказывать или понимать доказательство самого критерия не требуется.

 
 
 
 
Сообщение21.03.2009, 00:37 
Полосин писал(а):
В нашем случае $m=0, p=1/2, n=2(\alpha-1)$, стало быть, $1/(2(\alpha-1))$ или $1/(2(\alpha-1))+1/2$ должно быть целым. Естественно, не забудем тривиальный случай $\alpha=1$.

Пусть $1/(2(\alpha-1))=l$, $l$ принадлежит $Z$,
Тогда $\alpha= \frac{1+2l} {2l}$

А ответ такой приводится: $\alpha= \frac{1+l} {l}$
$l$ принадлежит $Z$, $l \ne0, -1$

Двойка затесалась откуда? $dS$ на правильно посчитал?

 
 
 
 
Сообщение21.03.2009, 00:41 
Вы забыли про вторую возможность.

 
 
 
 
Сообщение21.03.2009, 09:20 
Полосин писал(а):
или $1/(2(\alpha-1))+1/2$ должно быть целым. Естественно, не забудем тривиальный случай $\alpha=1$.

Пусть $1/2(\alpha-1)+1/2=l$, $l$ принадлежит $Z$,
Тогда $\alpha= \frac{2l} {2l-1}$

С ответом все равно не сходится: $\alpha= \frac{1+l} {l}$
$l$ принадлежит $Z$, $l \ne0, -1$

 
 
 
 
Сообщение21.03.2009, 19:20 
e7e5, вы, похоже, переутомились. :-) Две серии $\frac{1+2l}{2l}$ и $\frac{2l}{2l-1}$ как раз и эквивалентны одной серии $\frac{1+l}l$.

 
 
 
 
Сообщение22.03.2009, 21:06 
Полосин писал(а):
[b] Две серии $\frac{1+2l}{2l}$ и $\frac{2l}{2l-1}$ как раз и эквивалентны одной серии $\frac{1+l}l$.

Спасибо, не заметил сразу. Просто самостоятельно изучаю математику.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group