Доказать, что функция и ее производная непрерывны (функан)

[Asmo89]

Условия задачи:
Дано что у функции \phi(.) существует вторая производная и что:

\int_0^L (\phi''(x))^2\, dx < \infty

Нужно доказать, что тогда \phi(.) \in C\left[ 0,L \right] и \phi'(.) \in C\left[ 0,L \right]

[ASA]

$\phi'(x)=\phi'(0)+\int_0^x\phi''(t)dt$

[Brukvalub]

Asmo89 в сообщении #196646 писал(а):

Дано что у функции \phi(.) существует вторая производная

Asmo89 в сообщении #196646 писал(а):

Нужно доказать, что тогда\phi(.) \in C\left[ 0,L \right] и \phi'(.) \in C\left[ 0,L \right]

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

[ASA]

Brukvalub в сообщении #196858 писал(а):

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Здесь $(\phi''(\cdot))^2$ только интегрируема. Непонятно правда по Риману или Лебегу. Еще речь может идти не об обычной производной, а о производной Соболева.

[Brukvalub]

ASA в сообщении #196868 писал(а):

Здесь $(\phi''(\cdot))^2$ только интегрируема. Непонятно правда по Риману или Лебегу. Еще речь может идти не об обычной производной, а о производной Соболева.

А еще я умею читать:

Asmo89 в сообщении #196646 писал(а):

Дано что у функции \phi(.) существует вторая производная

А Вы - умеете?

[ewert]

Безусловно, имеется в виду, что исходная функция имеет именно обобщённую производную (т.е. в смысле Соболева), принадлежащую классу $L_2$.

Непонятно только, в каком месте курса находится эта задача и, соответственно, как отвечать. Например: известно ли уже, что из существования второй производной следует существование первой?

[ASA]

Brukvalub, а еще раз повторяю, что речь, видимо, идет ни о том, что $\phi(x)$ дважды дифференцируема в каждой точке $x\in[0,L]$, а том, что функция $\phi(\cdot)$ имеет вторую производную в смысле Соболева и $\phi''(\cdot)$ есть элемент $L_2[0,L]$ (Треногин "Функциональный анализ").

[Brukvalub]

Меня окружили ЭКСТРАСЕНСЫ!!!!!
Подскажите, как мне спастись, и возможно ли это?

[Asmo89]

ASA писал(а):

функция $\phi(\cdot)$ имеет вторую производную в смысле Соболева и $\phi''(\cdot)$ есть элемент $L_2[0,L]$

в условии имеется в виду именно это(извините за не совсем корректную постановку)
Правильным ли будет следущее рассуждение?
Из квадратичной суммируемости функции на конечном промежутке следует её суммируемость. Представляем первую производную, как интеграл с переменным верхним пределом от второй производной. Отсюда следует абсолютная непрерывность первой производной. Из непрерывности первой производной на отрезке следует,что интеграл от нее по этому отрезку меньше бесконечности,а дальше рассуждения аналогичны

[ASA]

Нормально. Только

Asmo89 в сообщении #197831 писал(а):

интеграл от нее по этому отрезку меньше бесконечности

нехорошо звучит. $-\infty$ тоже меньше бесконечности. Лучше так: функция интегрируема по Лебегу. Ну и или: интеграл от модуля функции меньше бесконечности.