Нормируемость пространства числовых последовательностей

[Eugene]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста разобраться со следующей задачей: нормируемо ли пространство всевозможных числовых последовательностей?
С одной стороны, вроде бы как и нормируемо: в любом пространстве существуе базис Гамеля, а значит вектор в нем описывается конечным числом координат. Далее можно взять, к примеру, модуль максимальной из них в качестве нормы и все хорошо (нет ли ошибки?) Но тогда встает вопрос а том, можно ли реально эти нормы вычислять, те можно ли предъявить базис?
С другой стороны, в книжке "Функциональный анализ" Кантарович, Акилов, говорится, без доказательства, что норму в этом пространстве ввести нельзя.
Как объяснить такое противоречие?

Заранее спасибо!

[id]

Нельзя. Теорема Колмогорова.

Добавлено спустя 3 минуты 11 секунд:

А именно

Цитата:

Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда оно имеет выпуклую ограниченную окрестность нуля.

В топологии произведения ( а такая топология подразумевается ) счетного числа ненулевых сомножителей это невозможно.

[AGu]

Любое векторное пространство над $\mathbb R$ или над $\mathbb C$ нормируемо -- в том смысле, что на нем можно определить норму, согласованную с имеющимися линейными операциями (и Eugene это фактически доказал). Но если рассматриваемое векторное пространство еще и наделено топологией (например, топологией "покоординатной сходимости" -- как в случае пространства числовых последовательностей), то может оказаться, что никакая норма не будет согласовываться с топологией (и по этому поводу высказался id).

Что же касается "конкретной" нормы в пространстве всех числовых последовательностей или "конкретного" базиса Гамеля в этом пространстве, то я подозреваю, что их нет (при определенной формализации понятия "конкретный"). Доказать не берусь, только подозреваю.

[Eugene]

Спасибо! С доказательством разобрался.
Но вопрос с противоречием по прежнему остается открытым. В чем, например, будет заключаться несогласованность введенной нами нормы с топологией, если они, по сути, независимы?
А ваши подозрения я разделяю. Возможно корень проблемы в том, что доказательство существования базиса Гамеля базируется на аксиоме выбора, а она "неконструктивна". Хотя это понятие тоже не формализованно.

[AGu]

Eugene писал(а):

В чем, например, будет заключаться несогласованность введенной нами нормы с топологией, если они, по сути, независимы?

Хмм... Не уверен, что понял вопрос. Несогласованность нормы $\|{\cdot}\|$ с топологией $\tau$ будет заключается в том, что $\tau$ не будет совпадать с топологией, порожденной нормой $\|{\cdot}\|$.

[Eugene]

Спасибо, теперь все ясно. Просто я не совсем понял ваш ответ