Монеты

[AndreyXYZ]

Расплачивался сегодня в университетской столовой, а сдачи у кассира не было. И пришла мне в голову такая задачка. Привожу её ниже.

Монетный двор некоторого госурасства собирается выпустить новую денежную единицу. Назовем её "рубль". В обиход собираются выпускать только монеты и причем только двух номиналов: $1$ рубль и $n$ рублей, где $n \in \mathbb{N}, n>1$. Необходимо найти оптимальное отношение числа монет номиналом $1$ рубль и $n$ рублей.

Думаю, вдобавок ко всему необходимо схормулировать критерий, по которому будет определяться наилучшее отношение. Предлагаю участникам форума выбрать этот критерий на своё усмотрение.

[Архипов]

AndreyXYZ в сообщении #196057 писал(а):

Необходимо найти оптимальное отношение числа монет номиналом рубль и n рублей.

Кто банкует, тот и ставку определяет. Задайте конкретный номинал. А то оптимизировать нечего. Для РФ нужно 150 млн монет по 1 р. и 366 монет номиналом 1 миллиард р. Коллекционных. А для расплаты за сытный обед достаточно кредитной карточки (в условиях города). В сельской местности можно либо подножный корм искать, либо трудом оптимизировать желание поесть.

[AndreyXYZ]

Мне кажется, здесь не так важно, какой общий объём денежной массы. Я бы сформулировал критерий следующим образом. Необходимо, чтобы монет номиналом $1$ рубль было как можно меньше (т.к. их изготовление стоит почти столько же, сколько и монет большего номинала; к тому же, неудобно носить большое количество монет), но, с другой стороны, необходимо, чтобы в кассе в среднем было достаточно монет для сдачи, и у человека в кошельке в среднем хватало денег для выдачи любой суммы.

Возможно, надо было по-другому сформулировать задачу. Сколько на человека в среднем надо выпустить монет номиналом $1$ рубль?
Варианты ответа:
1) $k=n-1$, т.к. в таком случае у каждого человека в среднем всегда будет нужная сумма без сдачи.
2) $k>n-1$, т.к. в п.1 при немного неравномерном распределении монет номиналом $1$ рубль постоянно будет возникать нехватка мелких монет.
3) Достаточно $k=\[n/2\]$ монет, т.к. ситуацию оплаты какого либо товара можно разбить на 2 случая в зависимости от числа требуемых мелких монет для отлаты товара.
а) мало мелких монет $\Rightarrow$ покупатель оплачивает без сдачи;
б) много мелких монет $\Rightarrow$ кассир в качетсве сдачи возвращает небольшое количество мелких монет
4) $n/2<k<n$