Привести хитрый пример.

[Сергей Маркелов]

Точки А и Б соединены 4 ломаными, не имеющими самопересечений и иных общих точек, кроме концов. Эти 4 ломаные ограничивают 3 многоугольника. Привести пример, когда все три многоугольника будут равными. (под равными понимается "совмещающиеся движением плоскости", т.е. переворачивать разрешается)

[RamsesHawk]

Такое построение невозможно.

[Сергей Маркелов]

RamsesHawk писал(а):

Такое построение невозможно.

Отчего же? Очень даже возможно. Этот вопрос задали на Московской олимпиаде школьников по математике в этом году, см. задачу 8-5 (ссылка). Я, собственно, пишу сейчас решение. Предполагаю, что пример не единственный - потому и прошу порешать уважаемых коллег.

Спасибо.
Сергей Маркелов

[ASA]

Не выходит, однако.

[RamsesHawk]

Вы простите, Сергей, за поспешный вывод... может и возможно... думаю, вот...

[Дима Тишков]

Даже такой тупой недоматематик как я, смог придумать решение за один вечер. Боюсь только, оно совпадает с тем, что пишет автор темы, слишком уж прямолинейное.
Чтобы рассчитать всё строго, надо повозиться, но основная идея простая. Симметрично строим небольшие (по сравнению с AB - я буду пользоваться все-таки латинскими буквами) отрезки AC=BD по разные стороны от AB, так что AD=BC=AB. Повернем ломаную ACDB вокруг A так, чтобы совместить D с B. Пусть C перейдет в C'. Конечно, ломаная ACDBC'A самопересекающаяся. Мы хотим избавиться от самопересечения и сохранить симметрию ломаной ACDB относительно середины AB. Для этого заменим одинаковыми симметричными трехзвенными ломаными CD и C'B. Если в начали мы выбрали отрезки AC и BD достаточно маленькими, это несложно. Могу расписать подробнее, если хотите. Теперь (если всё это нарисовать) решение очевидно. Можно построить даже 4 многоугольника (конкретнее 9-угольника), ограниченных 5 ломаными. Лишний можно выкинуть

[Neqyau]

Дима Тишков писал(а):

.. Боюсь только, оно совпадает с тем, что пишет автор темы, слишком уж прямолинейное...

Решение хорошее, правда напоминает спираль Фодерберга:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Voderberg.png

[Yu_K]

Красиво. Интересно, а из школьников кто-нибудь решил? И как придумалась такая задача? Или это классическое что-то?

[ewert]

А я вот совершенно не понял. По смыслу картинки (не по самой картинке) -- эта ломаная бесконечна внутрь, иначе непонятно, с чего бы у ней ровно три участка.

Но если её построение бесконечно -- она не имеет ни малейшего права называться ломаной.

[BapuK]

ewert писал(а):

А я вот совершенно не понял. По смыслу картинки (не по самой картинке) -- эта ломаная бесконечна внутрь, иначе непонятно, с чего бы у ней ровно три участка.

Но если её построение бесконечно -- она не имеет ни малейшего права называться ломаной.

А если, допустим рисовать ее не полностью, а взять любые 3 элемента, например синий, желтый и фиолетовый? не получится ли то что надо?

[Дима Тишков]

Neqyau писал(а):

Решение хорошее, правда напоминает спираль Фодерберга

Это она и есть, точнее 4 центральных фигуры. Конечно, чтобы получить спираль, нужно еще выбрать угол $\frac\pi n$.
P.S. То-то я думаю, что-то знакомое...

[Yu_K]

http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/radspir1.htm здесь более подробная картинка и дата 1936 год.