Задачи на теорию групп

[mipt questioner]

1. G - подгруппа группы перестановок S11, сохраняющих множество X={2,4,6,8}. (т.е. G состоит из всех перестановок, которые переводят любой элемент Х в Х). Указать все совпадающие левые и правые классы смежности по G.

Так вот я не пойму, как у меня должно выполняться hG=Gh1, где h1 и h из группы. То есть G оставят элементы из Х внутри него, а h переведет их в группу. Соответственно справа сначала элементы из Х переведутся в группу, а потом G будет переставлять элементы в обновленном Х? Или бывшие элементы из Х?

2.Пусть G - факторгруппа группы (Q,+) по подгруппе чисел вида k/5^r, k,r принадлежат Z, r>=0 . Доказать, что все элементы G имеют конечный порядок и для любого d, не делящегося на 5, существует элемент порядка G.

Даже с конечностью порядка проблема. Пусть f1 - некоторый смежный класс по G. f1 = p/q + k/5^r. Так вот получается, что требуется доказать, что существуют n, p, q, m и r. n*p/q = m/5^r. И как это сделать неясно.

Всем заранее спасибо

[VAL]

mipt questioner писал(а):

1. G - подгруппа группы перестановок S11, сохраняющих множество X={2,4,6,8}. (т.е. G состоит из всех перестановок, которые переводят любой элемент Х в Х). Указать все совпадающие левые и правые классы смежности по G.

Так вот я не пойму, как у меня должно выполняться hG=Gh1, где h1 и h из группы. То есть G оставят элементы из Х внутри него, а h переведет их в группу. Соответственно справа сначала элементы из Х переведутся в группу, а потом G будет переставлять элементы в обновленном Х? Или бывшие элементы из Х?

Как это $X$ может переходить $G$?
Кроме того, должно выполняться не $hG=Gh_1$, а $hG=Gh$.
Иными словами, $h$ должен принадлежать нормализатору $G$ в $S_{11}$.
Остается показать, что он совпадает с $G$.

Цитата:

2.Пусть G - факторгруппа группы (Q,+) по подгруппе чисел вида k/5^r, k,r принадлежат Z, r>=0 . Доказать, что все элементы G имеют конечный порядок и для любого d, не делящегося на 5, существует элемент порядка G.

А тут вообще все просто (если, конечно заменить последнее $G$ на $d$).
Достаточно понять, что, например, порядок класса $\frac{10}{17}+G$ равен 17.