Уравнение Навье-Стокса в переменных вихрь - функция тока

[AK-47]

Как записать уравнение Навье-Стокса в переменных вихрь - функция тока для трехмерного пространства? Или где можно найти эти формулы?
Везде, где я смотрел был только двуменый случай.

[Парджеттер]

AK-47 в сообщении #195545 писал(а):

Как записать уравнение Навье-Стокса в переменных вихрь - функция тока для трехмерного пространства?

А как Вы собираетесь ввести функцию тока для трехмерного пространства?

[Mottle]

Совершенно верно. Функции тока для трехмерного случая не существует.

[AK-47]

Mottle писал(а):

Совершенно верно. Функции тока для трехмерного случая не существует.

Обидно!

[Llevella]

Mottle писал(а):

Совершенно верно. Функции тока для трехмерного случая не существует.

А это не правда! Функция тока и вихрь существуют для трехмерного пространства, просто они векторные. Если надо, могу выложить, какой будет система (просто сама занимаюсь этой темой)

[Александр Т.]

Llevella писал(а):

Mottle писал(а):

Совершенно верно. Функции тока для трехмерного случая не существует.

А это не правда! Функция тока и вихрь существуют для трехмерного пространства, просто они векторные.

Пространство всегда трехмерно. Имеется в виду произвольное (не плоское) течение. Вы это имеете в виду? Тогда про существование вектора вихря вряд ли кто сомневается. А вот что подразумевается под векторной функцией тока? Если имеется в виду такая функция $\vec\Psi\left(\vec{r}\right)$, что поле скоростей выражается через нее следующим образом

$$\vec{v}\left(\vec{r}\right)=\nabla\times\vec\Psi\left(\vec{r}\right),$$

и удовлетворяющая дополнительному условию, устраняющему неоднозначность, например,

$$\nabla\cdot\vec\Psi\left(\vec{r}\right)=0,$$

то эту векторную функцию правильнее называть векторным потенциалом течения.

Или Вы знаете, как для случая, когда течение не плоское, находить такой векторный потенциал, что его значение на линии тока постоянно (только в этом случае его с полным правом можно называть векторной функцией тока)?

Цитата:

Если надо, могу выложить, какой будет система (просто сама занимаюсь этой темой)

Если не лень, выложьте. Мне лично было бы очень интересно посмотреть.

[Llevella]

Да, вы правильно описали векторный потенциал. Но Андресон и Плетчер его как раз-таки и называют веторной функцией тока(по аналогии с двумерным случаем).

[Llevella]

В приближении Буссинеска, в безразмерном виде для стационарного случая:

\[ \left\{ \begin{array}{l} v_x \frac{{\partial T}}{{\partial x}} + v_y \frac{{\partial T}}{{\partial y}} + v_z \frac{{\partial T}}{{\partial z}} = Pr(\frac{{\partial ^2 T}}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 T}}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 T}}{{\partial z^2 }}); \\ v_x \frac{{\partial \omega _x }}{{\partial x}} + v_y \frac{{\partial \omega _x }}{{\partial y}} + v_z \frac{{\partial \omega _x }}{{\partial z}} - (\omega _x \frac{{\partial v_x }}{{\partial x}} + \omega _y \frac{{\partial v_x }}{{\partial y}} + \omega _z \frac{{\partial v_x }}{{\partial z}}) = \frac{{\partial ^2 \omega _x }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 \omega _x }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 \omega _x }}{{\partial z^2 }} + Gr\frac{{\partial T}}{{\partial y}} \\ v_x \frac{{\partial \omega _y }}{{\partial x}} + v_y \frac{{\partial \omega _y }}{{\partial y}} + v_z \frac{{\partial \omega _y }}{{\partial z}} - (\omega _x \frac{{\partial v_y }}{{\partial x}} + \omega _y \frac{{\partial v_y }}{{\partial y}} + \omega _z \frac{{\partial v_y }}{{\partial z}}) = \frac{{\partial ^2 \omega _y }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 \omega _y }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 \omega _y }}{{\partial z^2 }} - Gr\frac{{\partial T}}{{\partial x}} \\ v_x \frac{{\partial \omega _z }}{{\partial x}} + v_y \frac{{\partial \omega _z }}{{\partial y}} + v_z \frac{{\partial \omega _z }}{{\partial z}} - (\omega _x \frac{{\partial v_z }}{{\partial x}} + \omega _y \frac{{\partial v_z }}{{\partial y}} + \omega _z \frac{{\partial v_z }}{{\partial z}}) = \frac{{\partial ^2 \omega _z }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 \omega _z }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 \omega _z }}{{\partial z^2 }} \\ - \omega _x = \frac{{\partial ^2 \psi _x }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 \psi _x }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 \psi _x }}{{\partial z^2 }} \\ - \omega _y = \frac{{\partial ^2 \psi _y }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 \psi _y }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 \psi _y }}{{\partial z^2 }} \\ - \omega _z = \frac{{\partial ^2 \psi _z }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 \psi _z }}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 \psi _z }}{{\partial z^2 }} \\ v_x = \frac{{\partial \psi _z }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \psi _y }}{{\partial z}} \\ v_y = \frac{{\partial \psi _x }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \psi _z }}{{\partial x}} \\ v_z = \frac{{\partial \psi _y }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \psi _x }}{{\partial y}} \\ \end{array} \right., \]

где

\[ Gr = \frac{{g \cdot \beta \cdot \Delta T \cdot L^3 }}{{\nu ^2 }} \] \[ Pr = \frac{\nu }{a} \]