интегралы.помогите решить

[youngtill1die]

вот интегралы:
1)$\int \frac{x d x}{5 x^2 + 2 x +3}$*есть
2)$\int\frac{x + 1}{(x^2 + 1) (x^2 - x)} d x$*есть
3)$\int \frac{x^3 + x + 3}{ x^2 - x + 1} d x$*есть
4)$\int \frac{x d x}{(x^2 - x +5)^2}$
5)$\int \frac{x^2 d x}{ \sqrt {x^2 + 1}}$
6)$\int \frac{x d x}{(x - 1) \sqrt {6 x - x^2 - 5}}$
7)$\int \frac{x^2 d x}{ \sqrt {3- 2 x - x^2}}$
8)$\int \cos^2 \frac{2}{3}xdx$*есть
9)$\int \sin^3 \frac{x}{8}dx$*есть
10)$\int \cos^4 8xdx$*есть
11)$\int \frac{d x}{5 \sin x +4}$*есть
12)$\int \frac{2d x}{\cos^2 x +3 \sin x \cos x}$*есть
13)$\int \frac{d x}{\sin^3 x}$
14)$\int \sqrt {x^2 +x + 6}dx$
15)$\int \sqrt {x-16x^2}dx$
помогите решить что можите,я бы сам..но не силен я в этом
это 1й курс теплоенергетика

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

(картинки и внешние ссылки в качестве замен формул не допускаются)

Добавлено спустя 33 минуты 38 секунд:

Тема возвращена. Рекомендую пронумеровать примеры, чтобы участникам форума легче было указывать принципы их решения.

[ewert]

тут вот что любопытно. Если первые 13 примеров уже решены, а всего их 11 -- то чем, собственно, помочь-то можно?...

[youngtill1die]

это я по ошибке написал.там была фотка с 30ю примерами.но здесь только форулами писать можн.поэтому выписал те которие не решил.а почистить пост забыл

[matan]

Так вы бы написали в чем проблема

[ewert]

Ну тогда навскидку -- первое, на что мышка ткнулась -- например, 8-й (это хорошо, что пронумеровали). Понизьте степень, и чему тогда равен $\int\cos \alpha x\,dx$?

[youngtill1die]

8й готов .
ewert
спасибо за подсказку

[ewert]

долго ждать придётся. Не ждите халявы, а чётко сформулируйте темы, которые вам действительно непонятны. И чем в меньшем количестве -- тем больше шансов, что кто-то отзовётся.

[youngtill1die]

мне действительно непонятны первые 6 примеров
как я понимаю они решаються с помощью интегрирования рациональных дробей.но я немогу понять как ноходить эти переменные( А, В, С)

[matan]

№3 Разделите числитель на знаменатель и разложите подинтегральную фунуцию на простые дроби

№13 Распишите

\[ dx = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)dx \]

Добавлено спустя 7 минут 59 секунд:

youngtill1die в сообщении #195410 писал(а):

немогу понять как ноходить эти переменные( А, В, С)

Например так:

\[ \begin{gathered} \frac{1} {{(x - a)(x - b)}} = \frac{A} {{x - a}} - \frac{B} {{x - b}} \hfill \\ 1 = A(x - b) + B(x - a) \hfill \\ 0 = A + B \hfill \\ 1 = - bA - aB \hfill \\ \end{gathered} \]

А и В находятся из последних двух соотношений

[ewert]

Ну пожалуйста. Снова тыкаю мышкой наугад -- в третий пример.

Сперва (поскольку дробь неправильная) следует выделить (например, делением уголком) целую часть и остаток. Это, кстати, неотъемлемая часть интгрирования рац. дробей в общем случае. Интеграл от целой части тривиален и потому неинтересен.

Затем, в принципе, надо было бы раскладывать знаменатель на множители и затем дробь на простейшие. Но в этом примере дробь -- и так простейшая (т.к. знаменатель на вещественные множители не раскладывается).

Значит, что? -- значит, надо выделить в знаменателе полный квадрат, сделать соотв. замену переменной и получить на выходе стандартную комбинацию арктангенса и логарифма.

-----------------------------------------------------------------------------------------
Всё это -- вполне шаблонные действия, и учить Вас им никто тут не будет. Тут не учебник.

[Nerazumovskiy]

Насколько я знаю програму первого курса(поскольку сам студент) то вам должны были вычитывать лекции по интегралам, так вот первые 10 интегралов делаются подстановкой в формулы для вычисления интегралов от рациональных функций. В 15 и 16 надо выделить полный квадрат. 12 нужно знаменатель свести к косинус угла, а
$\frac{1}{\cos^2(a)}$ уже считается. 13 вам уже сказали. А вот 11 не получается почемуто.

Добавлено спустя 4 минуты 19 секунд:

youngtill1die писал(а):

мне действительно непонятны первые 6 примеров
как я понимаю они решаються с помощью интегрирования рациональных дробей.но я немогу понять как ноходить эти переменные( А, В, С)

переменные находятся так: записываете розложение, потом берете производную и приравниваете степени в подинтегральном выражении к тем что у вас получились после взятия производной от разложения.

[Полосин]

В 11) сделайте универсальную замену $t=\tg \frac x 2$.

[youngtill1die]

застрял на 13м примере делаю так

\[ dx = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)dx \]

выходит:
\int \frac{dx}{ \sin x} + \int \frac{\cos^2xdx}{ \sin^3x}

первый интеграл беру.а что делать с 2м не знаю

[matan]

\[ \int {\frac{{\cos ^2 x}} {{\sin ^3 x}}} dx \]

Проинтегрируйте по частям

\[ \begin{gathered} u = \cos x \hfill \\ dv = \frac{{\cos x}} {{\sin ^3 x}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Добавлено спустя 5 минут 53 секунды:

№14 Можно попробовать при помощи подстановки Эйлера

Добавлено спустя 5 минут 21 секунду:

№5 Сделайте замену

\[ 1 + x^{ - 2} = t^2 \]