2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Двойной предел
Сообщение15.03.2009, 19:25 
Расскажите пожалуйста как найти следующий двойной предел :
$\lim\limits_{x \to +\infty y \to +\infty}(x^2+y^2)e^{-(x+y)}$

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:39 
Аватара пользователя
Зафиксируйте $y$ и возьмите предел по $x$, а потом... гм, надо же, а потом уже и делать ничего не нужно оО

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:42 
Аватара пользователя
Перейдите к полярным координатам, тогда можете применить правило Лопиталя.

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:43 
а можно поподробнее, а то ничего подобного я раньше не решал :cry:

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:45 
Аватара пользователя
Утундрий
А почему такой предел будет равен исходному?

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:48 
Аватара пользователя
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x^2  + y^2 } \right)e^{ - x - y}  = e^{ - y} \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x^2 e^{ - x}  + y^2 \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } e^{ - x} } \right) = 0
\]
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty ,y \to \infty } \left( {x^2  + y^2 } \right)e^{ - x - y}  = \mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x^2  + y^2 } \right)e^{ - x - y} } \right) = 0
\]

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:50 
Аватара пользователя
t34
\[
\left\{ \begin{gathered}
  x = \rho \cos \varphi  \hfill \\
  y = \rho \sin \varphi  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\] - переход к полярным координатам.

$$
\mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle x \to  + \infty  \hfill \atop 
  \scriptstyle y \to  + \infty  \hfill}  \left( {x^2  + y^2 } \right)e^{ - \left( {x + y} \right)}  = \mathop {\lim }\limits_{\rho  \to  + \infty } \rho ^2 e^{ - \rho \left( {\cos \varphi  + \sin \varphi } \right)} 
$$


Даже без Лопиталя можно так:
\[
\rho ^2 e^{ - \rho \left( {\cos \varphi  + \sin \varphi } \right)}  \leqslant \rho ^2 e^{ - \rho } 
\]. Отсюда делайте вывод.

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:51 
Аватара пользователя
Вы бы еще к сплюснутым эллиптическим координатам перешли :D

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:54 
Утундрий писал(а):
Зафиксируйте $y$ и возьмите предел по $x$, а потом... гм, надо же, а потом уже и делать ничего не нужно оО

Не нужно, ибо ничего не получится.

На самом деле всё сводится к тому, что при положительных $x,y$ величины $x+y$ и $\sqrt{x^2+y^2}$ двусторонне оцениваются друг через друга. Конкретно в данном случае: $x+y\geqslant \sqrt{x^2+y^2}$, откуда для доказательства стремления к нулю достаточно проанализировать $r^2e^-r$, что вполне очевидно стремится к нулю при $r\to\infty$.

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 19:55 
Аватара пользователя
Утундрий
А как же то, что для $$
f\left( {x,y} \right) = \frac{{xy}}
{{x^2  + y^2 }}
$$
оба повторных предела существуют, а обычного - нет?

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 20:02 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Утундрий
А как же то, что для $$
f\left( {x,y} \right) = \frac{{xy}}
{{x^2  + y^2 }}
$$
оба повторных предела существуют, а обычного - нет?

О, а я ужо и позабыл об таких фокусах) Ну, будь по-вашему.

 
 
 
 
Сообщение16.03.2009, 17:12 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Утундрий
А как же то, что для $$
f\left( {x,y} \right) = \frac{{xy}}
{{x^2  + y^2 }}
$$
оба повторных предела существуют, а обычного - нет?

нет предела :)
по теореме Гейне
если $$x \to n , y \to n, n \to \infty $ $ то $$ L_1 = \frac{1}{2} $$
 а если $ $ x \to n, y \to 2n, n \to \infty $$ то $$ L_2 =\frac{ 2}{5} $$.
а с другой стороны, если существует предел то предел единственный...

 
 
 
 
Сообщение16.03.2009, 17:27 
Аватара пользователя
daogiauvang
Я в курсе :D

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group