Двойной предел

[t34]

Расскажите пожалуйста как найти следующий двойной предел :
$\lim\limits_{x \to +\infty y \to +\infty}(x^2+y^2)e^{-(x+y)}$

[Утундрий]

Зафиксируйте $y$ и возьмите предел по $x$, а потом... гм, надо же, а потом уже и делать ничего не нужно оО

[ShMaxG]

Перейдите к полярным координатам, тогда можете применить правило Лопиталя.

[t34]

а можно поподробнее, а то ничего подобного я раньше не решал

[ShMaxG]

Утундрий
А почему такой предел будет равен исходному?

[Утундрий]

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x^2 + y^2 } \right)e^{ - x - y} = e^{ - y} \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x^2 e^{ - x} + y^2 \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } e^{ - x} } \right) = 0 \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty ,y \to \infty } \left( {x^2 + y^2 } \right)e^{ - x - y} = \mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x^2 + y^2 } \right)e^{ - x - y} } \right) = 0 \]

[ShMaxG]

t34

\[ \left\{ \begin{gathered} x = \rho \cos \varphi \hfill \\ y = \rho \sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

- переход к полярным координатам.

$$ \mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle x \to + \infty \hfill \atop \scriptstyle y \to + \infty \hfill} \left( {x^2 + y^2 } \right)e^{ - \left( {x + y} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{\rho \to + \infty } \rho ^2 e^{ - \rho \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)} $$

Даже без Лопиталя можно так:

\[ \rho ^2 e^{ - \rho \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)} \leqslant \rho ^2 e^{ - \rho } \]

. Отсюда делайте вывод.

[Утундрий]

Вы бы еще к сплюснутым эллиптическим координатам перешли

[ewert]

Утундрий писал(а):

Зафиксируйте $y$ и возьмите предел по $x$, а потом... гм, надо же, а потом уже и делать ничего не нужно оО

Не нужно, ибо ничего не получится.

На самом деле всё сводится к тому, что при положительных $x,y$ величины $x+y$ и $\sqrt{x^2+y^2}$ двусторонне оцениваются друг через друга. Конкретно в данном случае: $x+y\geqslant \sqrt{x^2+y^2}$, откуда для доказательства стремления к нулю достаточно проанализировать $r^2e^-r$, что вполне очевидно стремится к нулю при $r\to\infty$.

[ShMaxG]

Утундрий
А как же то, что для

$$ f\left( {x,y} \right) = \frac{{xy}} {{x^2 + y^2 }} $$

оба повторных предела существуют, а обычного - нет?

[Утундрий]

ShMaxG писал(а):

Утундрий
А как же то, что для

$$ f\left( {x,y} \right) = \frac{{xy}} {{x^2 + y^2 }} $$

оба повторных предела существуют, а обычного - нет?

О, а я ужо и позабыл об таких фокусах) Ну, будь по-вашему.

[daogiauvang]

ShMaxG писал(а):

Утундрий
А как же то, что для

$$ f\left( {x,y} \right) = \frac{{xy}} {{x^2 + y^2 }} $$

оба повторных предела существуют, а обычного - нет?

нет предела
по теореме Гейне
если

$$x \to n , y \to n, n \to \infty $ $ то $$

L_1 = \frac{1}{2}

$$ а если $ $ x \to n, y \to 2n, n \to \infty $$

то

$$ L_2 =\frac{ 2}{5} $$

.
а с другой стороны, если существует предел то предел единственный...

[ShMaxG]

daogiauvang
Я в курсе