геометрия метрических пространств

[Алина:)]

пожалуйста,помогите...

найти угол между гранями правильного четырёхмерного симплекса $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}$..
что-то вроде указаний из задачника
ответ arccos(2/3)
$a_{i}=A_{0}A_{i}$ i=1,..4.
показать,что квадрат косинуса между векторами $a_{1}t_{1}+a_{2}t_{2}$ и $a_{3}t_{3}+a_{4}t_{4}$ равен
$ \frac{(t_1+t_2)^2(t_3+t_4)^2}{4((t_1^2+t_1t_2+t_2^2)(t_3^2+t_3t_4+t_4^2))}$
что такое симплекс ясно,вроде, геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника. Определяется как выпуклая оболочка n+1 точек, не лежащих в одной n-мерной гиперплоскости.
так как правильный,значит,можно брать грани равными 1.
понятно почему ищется максимум..но не ясно почему они взяли такие векторы, и эта функция-это вывод из скалярного произведения? и функцию рассматривают от двух переменных.. $t_3$ и $t_4$ можно зафиксировать?

[BVR]

Уточнить бы условие. Между 3-гранями? А что такое $a_{0}$ - радиус-вектор вершины $A_{0}$?
В книжке Розенфельд Б. А. "Многомерные пространства" в п. 5.5.6 приведены координаты вершин правильного n-симплекса и метод их нахождения в специфической системе координат, когда начало помещено в центр тяжести, и n-я ось проходит через вершину $A_{n}$. А в качестве примера приведены координаты вершин 2-симплекса (правильного треугольника), 3-симплекса (правильного тетраэдра) и 4-симплекса. Зная координаты вершин, можно написать уравнения 3-граней. Угол между нормалями и равен углу между гиперплоскостями, содержащими эти 3-грани.

[Алина:)]

в условии между двумерными гранями четырёхмерного сиплекса..

Добавлено спустя 5 минут 46 секунд:

и не понятно,почему задача в теме евклидовых пространств,если симплекс,вроде,из точечеых

[мат-ламер]

Может кто пояснит, что такое двугранный угол (т.е. угол между двумерными гранями) в 4-х мерном пространстве? Угол между рёбрами элементарно определяется через скалярное произведение. Двугранный угол в трехмерном пространстве также понятен.

[BVR]

мат-ламер писал(а):

Может кто пояснит, что такое двугранный угол (т.е. угол между двумерными гранями) в 4-х мерном пространстве?

Как пару полуплоскостей и их общую прямую, если она есть. Обычный двугранный угол. Хоть в каком пространстве. Вот между 3-плоскостями в 5-ти и выше мерном пространстве - непонятно.
Алина:)
Двумерные грани 4-симплекса, взятые по 4 штуки образуют правильный тетраэдр. А, значит, и двугранные углы между ними как в обычном правильном тетраэдре, т.е. arccos(2/3) - что-то здесь я наврал. Подумаю.

Добавлено спустя 5 минут 44 секунды:

Алина:) писал(а):

и не понятно,почему задача в теме евклидовых пространств

А мерять-то углы надо ведь!

[мат-ламер]

Немного не догоняю. В трёхмерном пространстве двумерная грань - это объект размерности 2 и ко-размерности - 1, т.е. задаётся одним линейным уравнением. Пересечение двух таких граней - объект ко-размерности 2 (задаётся двумя уравнениями) и размерности - 1 (т.е. - прямая). Теперь в четырёхмерном пространстве. Там двумерная грань - это объект размерности и ко-размерности - 2 (задаётся двумя уравнениями). Пересечение двух таких граней - объект ко-размерности 4, т.е. размерности - 0, т.е. это точка, задаваемая системой 4-х уравнений. Кроме того, я хотел спросить не про определение угла, а про определение величины угла (я не правильно сформулировал вопрос).

[BVR]

Алина:)
Ой. Получается arccos(1/3). Но ведь, если речь идёт о 2-гранях, то о тех, которые имеют общее ребро. Чуть позже ещё подумаю.
мат-ламер

Цитата:

Пересечение двух таких граней - объект ко-размерности 4, т.е. размерности - 0, т.е. это точка, задаваемая системой 4-х уравнений.

Это неправильно. Размерность пересечения зависит от ранга системы, а не от количества ур-ний.

[gris]

$ \frac{(t_1+t_2)^2(t_3+t_4)^2}{4((t_1^2+t_1t_2+t_2^2)(t_3^2+t_3t_4+t_4^2))}=\frac{(t_1+t_2)^2(t_3+t_4)^2}{4(((t_1+t_2)^2-t_1t_2)((t_3+t_4)^2-t_3t_4))}$

Это выражение максимально, если $t_1=t_2$ и $t_3=t_4$

$\frac{(t_1+t_1)^2(t_3+t_3)^2}{4((t_1^2+t_1t_1+t_1^2)(t_3^2+t_3t_3+t_3^2))}=\frac{4t_1^24t_3^2}{4(3t_1^23t_3^2)}=4/9$

[мат-ламер]

Вроде дошло, что такое величина угла между гранями. Это максимальный угол между единичиными векторами, лежащими в этих гранях. Или я усложняю?

[BVR]

мат-ламер
Это угол между перпендикулярами к общему ребру. При чём тут максимальность?
По задаче
Возьмём грани $A_{3}A_{4}A_{0}$ и $A_{3}A_{4}A_{1}$. Их общее ребро $A_{3}A_{4}$. Пусть $N$ середина отрезка $A_{3}A_{4}$.
Тогда угол между векторами $NA_{0}$ и $NA_{1}$ - искомый.
Конкретно: в системе координат, о которой я говорил в первом посте, по книжке Розенфельда, даны координаты вершин. Искомый угол равен arccos(1/3).

[gris]

Может быть всё-таки надо найти угол между трехмерными гранями-тетраэдрами? Их пять, они образуют 10 одинаковых углов, попарно пересекаэтся по треугольнику.
Двухмерные грани могут образовывать различные углы, если они не пересекаются, например.
Угол между трехмерными гранями можно посчитать как угол между нормалями. Впрочем, это уже предлагалось.

Или это совсем не то?

[BVR]

gris
Алина:) настаивает на 2-гранях. Вершин 5. Каждая 2-грань - треугольник. значит любые две 2-грани имеют либо одну общую точку, либо общее ребро. С теми, что имеют общее ребро мы вроде разобрались. А для тех, что имеют только общую вершину, надо выяснить, - имеют ли они общую прямую. Выписать их уравнения и т.д Неохота.
Хотя, я думаю, что речь идёт о 3-гранях и надо найти угол между нормалями.

[Алина:)]

не я настаиваю,а задачник и преподаватель..

что такое ко-размерность?

что-то я совсем запуталась.. этот симплекс должен быть быть построен в ортонормированном базисе? в прямоуг. системе координат берём 4 точки на осях и строим их линейную оболочку?

[Someone]

Это задача 1405 из задачника И.В.Проскурякова по линейной алгебре, только с опечатками. Речь идёт о двумерных гранях, пересекающихся в одной точке (две плоскости в четырёхмерном пространстве, не лежащие в одном трёхмерном подпространстве, имеют только одну общую точку).

Цитата:

Найти угол между двумерными гранями $A_0A_1A_2$ и $A_0A_3A_4$ правильного четырёхмерного симплекса (см. задачу 1378) $A_0A_1A_2A_3A_4$.

Угол между такими плоскостями определяется как наименьший угол между лежащими в них ненулевыми векторами. Наименьшему углу соответствует, естественно, наибольший косинус.

Алина:) в сообщении #195223 писал(а):

не ясно почему они взяли такие векторы

В каждой из плоскостей нужно взять какой-нибудь базис. Почему бы не взять в качестве базисных векторы $\vec a_i=\overrightarrow{A_0A_i}$?

Алина:) в сообщении #195223 писал(а):

эта функция-это вывод из скалярного произведения?

Эта функция - квадрат скалярного произведения. Кстати, какой угол между $\vec a_i$ и $\vec a_j$?

Алина:) в сообщении #195223 писал(а):

и функцию рассматривают от двух переменных.. $t_3$ и $t_4$ можно зафиксировать?

Нет. Но эту функцию можно записать как $\frac 14\cdot\frac{(t_1+t_2)^2}{t_1^2+t_1t_2+t_2^2}\cdot\frac{(t_3+t_4)^2}{t_3^2+t_3t_4+t_4^2}$, откуда видно, что можно максимизировать каждую из двух дробей отдельно. Если считать, что векторы $t_1\vec a_1+t_2\vec a_2$ и $t_3\vec a_3+t_4\vec a_4$ единичные, то и получается та рекомендация, которая дана в задачнике: искать максимум $(t_2+t_2)^2$ при условии $t_1^2+t_1t_2+t_2^2=1$.

Алина:) в сообщении #195710 писал(а):

что такое ко-размерность?

Размерность дополнительного подпространства.

[BVR]

Someone писал(а):

Угол между такими плоскостями определяется как наименьший угол между лежащими в них ненулевыми векторами.

Вот как. Эти плоскости, ействительно, имеют только одну общую точку $A_{0}$, поскольку системы веторов $\overightarrou{A_{0}A_{1}}, A_{0}A_{2}$ и $A_{0}A_{3}, A_{0}A_{4}$ взятые вместе, образуют систему векторов ранга 4.